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f(n)は連続3整数の積なので、2の倍数かつ3の倍数。したがって、f(n)は6の倍数。
g(n)=n^5+n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
nを5で割った余りがどの場合でも、g(n)は5の倍数であり、かつ(n-1)n(n+1)は連続3整数の積なので6の倍数。
したがってg(n)は30の倍数。
nを5で割った余りが0の時はnが5の倍数に、1の時はn-1が5の倍数に、余りが2,3の時はn^2+1が5の倍数に、余りが4の時はn+1が5の倍数になります。数式で書くなら、n=5m+1(mは整数)のとき、n-1=5mとなるため、g(n)は5の倍数 みたいな感じです。
合同法(mod)を使うともう少しすっきり書けます。
gn =(n-1)n(n+1)(n^2+1)
n=5k、5k±1、5k±2を代入してそれぞれ計算して5の倍数が含まれることがわかるので5の倍数になります
5の倍数であることについてもう少し詳しくお願いしてもいいですか？