(2)と(3)の解き方を教えてください🙇‍♀️

Question

(2)と(3)の解き方を教えてください🙇‍♀️
((1)で√3が無理数であることを証明してあります)

ブドウくん · Accepted Answer

(1)でわざわざ√3が無理数だと示したわけなのでそれを使うのは確定です。直接はきついので、背理法を使って示そうと考えたうえで、√3がで無理数であることを使うと考えれば、無理数を有理数であると仮定して矛盾を示せばいいことがわかります。結果を否定する、つまりb≠0と仮定します。

b≠0     ...(＊)
と仮定する。
a+b√3=0より
√3=-a/b

この変形の意図はあえて√3=~~の形にすることで(√3=無理数)=(有理数)となる矛盾を示そうとしています。

a,bは有理数であるから右辺の-a/bは有理数であるが、左辺は(1)より無理数であるから矛盾
したがって背理法により、(＊)は誤りである、つまりb=0であることが示せた。
このときb√2=0であるから、
a+b√2=a=0よりa=0も成り立つ。
よってa=b=0である。

(＊)でa≠b≠0として示さなかったのは、b≠0さえ言えれば必然的に簡単に示せるからであり、a≠0としてしまうと分母が0になってしまうのでおかしくなります。

(3)
展開すると
4x+√3x+2y-5√3y=0
有理数の項と無理数の項に分けてやると
(4x+2y)+(√3x-5√3y)
=(4x+2y)+(x-5y)√3=0

4x+2y=a
x-5y=b
とみるとa,bは有理数であり
a+b√3=0
よって(2)よりa=0,b=0

回答