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イ=M, ウ=Nとします。(M,Nはともに2桁の自然数)
例えば、「12と8の公約数の1つは4である」というのは「12も8も、4×(整数)で表せる=12も8も4の倍数である」という意味です。12と8の公約数には、他にも2などがありますが、その中で最大のもの=4が最大公約数です。
同様にM,Nの(最大)公約数が27であるということは、少なくともM,Nは27の倍数だとわかります。
よって
M=27k (kは整数)
N=27l (lは整数)
と表せます。
しかし、ここで注意しないといけないのは、今まで使ってきたのは「公約数」の性質であり、これだけだと"最大"公約数とならない場合があるということです。例えば(k,l)=(2,4)のときだって、(＊)は成り立ちますが、この場合54と108の最大公約数は54なので題意を満たしません。
この場合ダメなのはなぜかというと、kとlが2という1以外の公約数をもっているからです。kとlが2という公約数をもっていたらk=2k'とl=2l'みたいにおけるので、
M=54k' (k'は整数)
N=54l' (l'は整数)
のようにできてしまって、54が公約数になります。2以外でも何か1以外の公約数を持っていれば同じことになります。こうならないようにするには、もうkとlをこれ以上新たな数でくくれないようにする、つまりkとlの最大公約数が1であればよいですね。(kとlが最大公約数が1であることを、高校では「kとlが互いに素である」という)
一旦入りきらないので送ります。
ここでは、証明までは載せませんが(高校内容となりとても難しいと思うので)
次のような定理が成り立ちます。
a=Ga' b=Gb'であるとき
最小公倍数をL, 最大公約数をGとするとL=Ga'b'
もしかしたら小学校のときに写真1枚目のような筆算的なものをやったことがあるかもしれませんが、それはこの定理を意味しています。
これを使えば
a=27k
b=27l
として
162=27kl
kl=6
kとlが互いに素よりk=2,l=3
よってa=27×2, b=27×3と求まります。
ありがとうございます!!!💦助かりました！
互いに素の条件？があまりよくわかりません、
どうして(2,6)とかの選択肢が消せるんですか？
理解力なくて申し訳ないです、
2と6の最大公約数は2であり1ではないからです。3と6も同じです。
(テストだったらここまでわかれば、最悪解き方が思い付かなくても最小公倍数が162になるようなkやlを気合いで見つければいいですね。)
「6と9の公倍数の1つが18である」というのは、「6も9も18の約数である= 18/(整数)が整数になる」ということになります。他にも36などがありますが、その中で最小のもの=18が最小公倍数です。
同様に、MとNの最小公倍数が162ということは、162/Mと162/Nが整数になるはずです。
162は素因数分解すると2×(3の4乗)となります。
ここで、M=27k,N=27lであることから
①162/M=162/27k=(2×3)/k
②162/N=162/27k=(2×3)/l ...(＊)
になり、①②が整数にならないといけません。
さっきの互いに素の条件から(2,6)(3,6)みたいなのは消せて、大小関係から(1,2)(1,3)(1,6)(2,3)だけになると思います。そして、2桁なので(1,2)と(2,3)だけになります。そこからは実際に代入すれば(2,3)だとわかります