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問題の基本的な解き方は「方程式を立てて解く」です。
(2)①xの方程式を立てます。
まず、問題からわかる関係式は、
△DGH : 四角形EFHG = 2 : 3
ですね。このまま左辺をxの式で表して解いてもいいんですが、左辺の面積の計算は少しやっかいですね。なので、もう少し簡単にできるように変形しましょう。
四角形の面積は扱いにくいので、△DGHと合体して△DFEにしてしまって、比を考えます。
△DGH : △DFE = 2 : (3+2)
だいぶ扱いやすくなりましたが、△DGHはまだちょっと求めにくいです。ここで、三角形の相似を使えば、「面積比=相似比の2乗」の関係から直接辺の比に持っていくことができます。
△DGH∽△DFEより△DGH:△DFE=x²:8²であるから
x² : 8² = 2 : 5
x>0より
x : 8 = √2 : √5
これを解くと、
x = (8√10)/5
ざっとこんな感じでしょうか。
ちょっと長くなりそうので、一旦ここで切ります。
図も参考にしつつ、与えられた情報を整理して、この問題に対しては平行線の定理が有効だと判断します。
△KBL∽△KEFより
BL:EF=KB:KE
また、△KJB∽△KGEより
KB:KE=JB:GE
よって、
BL:EF=JB:GE
BL:6=(5-3):(10-4)
BL=2
(3)②
①同様、平行線の性質より
CI=4
また、
△JBL=△ABC×(JB/AB)×(BL/BC)
=(3×4/2)×(2/5)×(2/3)
=8/5
I-JBL=(1/3)×(8/5)×4=32/15
一方、
KB:KE=BL:EF=2:6=1:3より
KB:BE=1:2すなわちKB=BE/2
IB:IE=BC:EF=3:6=1:2より
IB:BE=1:1すなわちIB=BE
よって、KB=IB/2
KB/IB=1/2
よって、立体K-JBLの高さもI-JBLの半分であり、
K-JBL=16/15
よって、
I-JKL=32/15-16/15=16/15
ありがとうございます‼︎
めっちゃ分かりやすかったです。
②立体A-BGHの体積を求めるのはやっかいなので、もっと簡単にします。
AB//DEかつAB=DG=5より
四角形ADGBは平行四辺形なので、
△ADG=△AGBです。
よって、
立体H-AGBの体積=立体H-ADGの体積
になります。
立体H-ADGすなわち立体A-DGHの体積は
△DGH∽△DFEより
GH:FE=DG:DF
GH=6×5/8=15/4
よって、
立体A-DGH=(1/3)×△DGH×(高さ)
=(1/3)×{(1/2)×5×(15/4)}× 4
=25/2
となります。