Question

ゲスト。

数列です。（4）がわかりません。画像3枚目の3行目、Σxk＝Σkとなる理由がわかりません。xkとkは同じものなのですか？

nを並び替えたも
, nを大
数学
問題 3 数列x1, X2, X3,
のである。また, 数列a1. a2,
*nはn個の自然数1,2,3,
a,はn個の自然数1,2,3,
a3,
きい方から順に並べたものである。
a,の第を項a。をんの式で表せ。ただし, 計算等の過程
カナ
(1) 数列a1, a2, a3,
は記入しないこと。
人と
( に
E
2xを求めよ。ただし, 計算等の過程は記入しないこと。
n
k=1
(3) 次の等式が成り立つことを示せ。
n
1
2 kxk
n
n
x+ 2- 2(ーk)
k=1
2
k=1
k=1
E
n
(4) 2
…, *;はどのような数列か。また, そ
20f
QkX を最小にする数列x1, X2 X3,
k=1
のときの2。
n

3
3 解答(1) ax=n+1-k
ー ラ
6
3ルル
(x-k)?=x?-2kx。+k?
対化 eい
であるから
n
n
n
n
2(x-k)?= 2x?-2とkx,+ と
く計小景 行o
k=1
k=1
k=1
k=1
より
命
1
n
2x+ と-2 (xa-k)
2 (k=1
(証明終)
k=1
k=1
k=1
(4)(1)より,a=n+1-kであるから でま
白)
こaxa=2 (n+1-k)xュ= (n+1)三xが-三kx
k=1
k=1
k=1
k=1

224 2020 年度数学く
X2, X3, , X,であ
nを並べ替えたものがx。
ここで,1,2,3, …,
るから
2=
k=1
k=1
カーと=(n+1)
また,(2)より
こ=2=ニn(n+1)(2n+1)
k=1
k=1
であるから,(3)の結論の式より
11
n (n+1)(2n+1) ×2- ューk)}
三
k=1
2
k=1
=!M (n+1) (2n+ 1) -2月 AE
(xェーk) …2
=1
大長
よって,0, 2より
=(n+ 1) (n+1)}-信(m+1) (2n+1)
(xょ-k)
k=1
0- =-n(n+1) (n+2) +2(xaーk)2
=1
次に,2(ra-k)2は平方数つまり 0以上の数の和であるから
k=1
2 (xa-k)?20
k=1
そして,エ=k(k=1, 2, …, n) のとき,等号が成立する。
以上より,こax』が最小になるのは, と
(x-k)?=0つまり
k=1
X=k(k=1, 2, …, n) のとき
このとき,最小値は
3 2
.(答)
(答)
[解説《和の計算,最小値》
(1).(2)は答のみを答えるやさしい計算である。 (3)の証明については, 結論
は当たり前に見えて, 何を書けばいいか焦るかもしれない。ところが,こ
の(3)の結論の式が4)の巧みな誘導になっている。(1).(2)も利用することで
(4)が自然に解けてしまう。 流れに乗って軽やかに解きたい問題である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

説明わかりやすいの助

x_kとkが同じでなくても、Σは総和なので、順番を入れ替えても変わりません。その上の式がわかるならここもわかるはずです！

ゲスト。

ありがとうございます！