ㆍ数学Ｂの数列の問題です。問題文は画像を参照。

数学

高校生

解決済み

約2時間前

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ㆍ数学Ｂの数列の問題です。問題文は画像を参照。

ㆍ？ᆢこの問題の解説文のところのなぜ、条件でｋが２以上になるかがわかりません。あと、いままでｎ＝１のときだけでよかったのに、この問題ではなぜｎ＝２も確認しないといけないのかがわかりません。いままでの問題の例は画像の３枚目にあげました。

ㆍまた、ピンクの線の部分もわかりません。質問は画像のところに書いてあります。式変形する理由です。変形しないで代入した方が楽なのでは？ってなります。値はおなじなのに、なぜ、式変形する必要あるのでしょうか？

| B | △ 87*n を自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式や不等式を証明せよ。 1 2 3 (1) + + +･･･ + 2! 3! 4! (2)2"+1 > n(n+1) +1 n 1 = 1 (n+1)! (n+1)!

ak-3 2k-1 ・3 (2) 2+1 n(n+1)+1 ① k (2k-1)-4k 2k+1 (2k-1)-3k k+1 2(k+1)-1 k+1 したがって ① は = k +1 のときにも成り立つ。 [1], [2] より,べての自然数nについて ①が成り立つ。したがって、求める一般項は 2n-1 an= n とする。〔1〕 n=1のとき (左辺)=21+1=4 (右辺) 1 (1+1) + 1 =3 ゆえに (左辺) > (右辺) よって ① は n=1のとき成り立つ。〔2〕 n=2のとき (左辺) = 22+1=8 (右辺) =2(2+1)+1=7 ゆえに (左辺) > (右辺) よって, ① は n=2のとき成り立つ。〔3〕 k≧2 とし, ① が n=kのとき 245 2(ak-2)+1 ======= ... ② ak 2(ak-2)+1 ② より ≥O ak よってり立つ, すなわち 2k+1 > k(k+1)+1 と仮定する。 n=k+1 のとき, ①の左辺を②を用いて変形すると 2(k+1)+1 = 2.2k+1 よって > 2{k(k+1)+1} = 2k² +2k+2 2(k+1)+1 > 2k+2k + 2 ... ③ ここで。 2k+2k+2と (k+1){(k+1)+1}+1 の大小を比較すると, k≧2 であるから 2k +2k+2 -((k+1){(k+1)+1}+1] =k-k-1 つなぜすなわち ak+1-2≥0 ak+12 したがって, ①はn=k+1のときにも成り立つ。 [1], [2] ふりすべての自然数nについて ①が成り立つ。 89 (1) c+a2+73 + ... |=α+2 1…① とする。〔1〕 n=1のとき (左辺)=1 (右辺)-1= (a2+α)-1 =A+1-1=1 よって、 ① n=1のとき成り立つ。 [2] ①がnkのとき成り立つ, すなわち 5 = k- 4 この形に 4 変形する必要 a+a+α+・・・ a = ak+2 -1 ... 2 と仮定する。ある? ... ④ ≥ (2-)-5 N =1>0 よって 2k²+2k+2>(k+1){(k+1)+1}+1 ③④より 2(k+1)+1> (k+1){(k+1)+1}+1 となり, ① は n=k+1のときにも成り立つ。〔1〕〔2〕〔3〕よりすべての自然数n について ① が成り立つ。 n=k+1 のとき, ①の左辺を② を用いて変形すると +a2+α+... + akak+1 =ak+2+αk+1-1 = @k+3- となり, ① は n=k+1のときにも成り立つ。〔1〕〔2〕よりすべての自然数nについて ①が成り立つ。

87(1) nを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式や不等式を証明せよ。 2 89 次 21 1/1 +31 3 n +... ... + =1- 4! (h+1)! (hfl)! とする a 1+++ 〔1〕n=1のとき (1) (1) 2 よって、①はんこ1のとき成り立つ。 [2]①がんこのとき成り立つ。すなわち、 + 2! 31 ++ =1- (k+1)! ・②と仮定する。 [3]n=k+1のとき、①の辺を②を用いて変形すると、 2. =1-(水+2)-(大+1) (k+2)! = 1-(k+2)= 1- =1- k+1 (k+1)! (k+2); (k+1)!) (+2)! 対応させる (1)!(大)! 通分! (k+2)を上に {(4+1)+13 リ!となり ①はん=k+1のときにも成り立つ。かけてあげる! [1][2][3]より、すべての自然数んについて ①が成り立つ。

数学数学b 数列数学的帰納法の証明応用問題条件

回答

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

13分前

疑問点1つ目「n=2のときは必要なのか」
結論から言うと必要です。
写真の解説の、左下14～16行目の
2k²+2k+2-[(k+1){(k+1)+1}+1]
＝k²-k-1
ですが、ここにk＝1を代入すると、-1となり負になります。
ということは、
2^(k+1)+1＞2k²+2k+2＞[(k+1){(k+1)+1}+1]
は成り立たなくなってしまいます。
ようは、
2k²+2k+2-[(k+1){(k+1)+1}+1]＞0
が成り立つためには、k≧2でないといけないのです。
そのための、「n=2」だったのです。

疑問点2つ目「なぜ平方完成をするのか」
上記でかいたように、k²-k-1は、k≧2の範囲で正でないといけません。そのため、平方完成することで、k²-k-1の軸がk＝1/2であり、k≧1/2では単調増加であることを示すため、平方完成をしている…のではないかと思います。しなくても減点にはならないと思います。