Question

ゲスト。

三角関数です
（2）のtの値を求める時にどうしてOQ＝0のときcos3t＝-1、3t＝π，3π，5π…などと求めるのですか？？単位円を書いて、一番小さいところ、と思って、3t＝3/2π，7/2π，11/2πとすると思ったですがなぜそれではダメなのですか？

第4問
0を原点とする座標平面上で単位円と角tの動径の交点を P,角 at+bの動径と単位円
の交点をSとする。線分 OS をOがPに重なるように平行移動したものを線分 PQ とす
る。ここでa, bは実数である。tの値と点Qの座標の関係について, 以下の問に答えよ。
(1) a= -1, b=
のとき,ある直線 Lがあり,点Qは常に直線L上にあることを
2
示せ。
(2) a= -2, 6=0,0<t< 2πのとき, 線分 OQ の長さの最小値と最大値を求めよ。
また,そのときのもの値と点Qの座標をすべて求めよ。
問

四角形 OPQS は,平行四辺形となるので05増小 00
OQ=OP+OS
=(cost, sint)+(sint, cost)
=(sint+cost, sint+cost)
VA
S
Q(x, y)とおくと
(x=sint+cost
ly=sint+cost
P
0
2式から,tを消去すると
ソ=x
とって,点Qは直線 y=x 上にある。逆にこの直線上のすべての点
Q(x, y) は条件を満たす。
したがって,点Qの軌跡は直線ソ=x なので,点Qは常に直線上にある
ことが示された。
(2) S(cos(-2t), sin(-2t))とおける。つまり
S(cos2t, -sin2t)
(1)と同様に,四角形 OPQS は, 平行四辺形になるので
(証明終)
0Q=OP+OS
00
=(cost, sint)+(cos2t, -sin2t)
=(cost+cos2t, sint-sin2t) 0
10QP=(cost+cos2t)+(sint-sin2t)?
05)
=(cos°t+2costcos2t+cos2t)
12×1
+(sin°t-2sintsin2t+sin°2t)
円単)
-2+2(costcos2t-sintsin2t)
す先さの二2+2cos(t+2t)
=2+2cos3t
0St<2元より
改は解
0S3t<6π
.. 0100|3 い
-1Scos3t<1
-2<2cos3tS2
0<|0QP<4
に代入し
0<2+2cos3tハ4
|0Q20より
0<|0Q|<2

52 2020年度
よって,線分 OQの最小値は0,最大値は2四
20-90-00
(i) |0Q|=0 のとき
2の範囲で解くと
COs3t=-1
(1a0 taie)+ (nte Aeoa)=
0000nia teoo+\nie)=
3t=π, 3π, 5元
5
ー20AR)
t=
π
π、
3"
1800+1nie x
OAR
cos3t=1
(i) |0Q|=2 のとき
2の範囲で解くと
3t=0, 2元, 4
coa
ると
い ふ = 0
12
点のと2 4
t=0,
π,
3.37
まとめると
0Qの最小値は0. そのときのtの値は
る示こ
t=ズ. x. 号元 atiはs (as= ) 200)2
ia- aSaoo)
o 四
5
π,
3
3
のにtの値をそれぞれ代入すると,点Qの座標は
Q(0, 0)
OQの最大値は2,そのときのtの値は
…(谷)0
nte 74 >
(1Shi)
2
4
π,
3
t=0,
Tπ
3
1e057
のにtの値をそれぞれ代入すると,点Qの座標は
(2, 0),(-1, v3). (-1.-3) 209 0)
解説<三角関数と軌跡の融合,三角関数の最大·最小>
(1) 単位円周上の点P, 点Sの座標を求める。平行四辺形の性質とベク
トルを利用して,点Qの座標を求める。軌跡を導く考え方でtを消去す
100(
る。
(2) (1)の前半と同様に点Qの座標を求める。|0QPを求め、cos3tのとり
8aooS +8ー
得る値の範囲に注意し, |0QPのとり得る値の範囲を求める。|0Q|が最
小値·最大値をとるときのtの値をそれぞれ求めて,点Qの座標をそれ
ぞれ求める。