Question

®️

(2)です。④の式をどうやって求めたのか分かりません。教えてください。

94 第1章 複素数平面
Check
例題 37
垂線の方程式,垂心
複素数平面において, 単位円周上に異なる3点A(α), B(B), C(y) を定
(1))点Aから直線 BCに垂線!を引くとき, この垂線l上の任意の点
2-1)が成り立つことを証明せよ。
(山形大·改)
める。
P(z)について, z-α=By\z
(2) △ABCの垂心を a, B, yで表せ。
lel=I8|=lyl=1
まるいて

導
<チーを)
BOULINGに 13
(チ-)-
13
4 平面図形と複素数
95
(2) △ABC の垂心をHとする。
(1)と同様にBから直線 CA に
垂線 mを引き, m上の任意の
点Qが表す複素数を2とすると, B(B)
m
0
A(a)
-1
ェーB=ya(z-)·
必
のは直線mの方程
式を複素数で表現し
C(T
F1
が成り立つ。
AABC の垂心は,lと mの
交点なので,垂心Hは③と④を同時に満たす点である。
3×a-の×8より,
a(z-a)-B(z-B)=aBy(z-)-aBy(2-)
Q(z)
たもの
式を整理すると,
(α-B)z-(α°-3")= (α-B)Y
αキ8 より, αーβキ0 なので, 両辺をα-Bで割ると,
2ー(α+B)=y
よって, z=α+β+y より, △ABCの垂心を表す複素 ③, ④を同時に満た
Aム
数は,
a+B+y
友港すH心電 いああ する, つまり, l 2
mの交点(垂心)
異なる 4点 A(α), B(B), C(y), D(8)に対して
Y-a
が純虚数→
B-a
Y-a__Y-a
(i直線 ABと ACが垂直 →
B-a1
B-a
(i)直線 ABと CDが垂直 →
8-7
が純虚数→
B-a
8-7
B-a
8-7
B-a
ニー

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

2つの直線が垂直→(z－β)/(γ－α)が純虚数　であることを利用します。

純虚数であるためには、z＝－z⁻となればいいので、

(z-β)/(γ－α)＝－(z⁻－β⁻)/(γ⁻－α⁻)
→　(z－β)＝－(γ－α)/(γ⁻－α⁻)×(z⁻－β⁻)

ここで、α，β，γは単位円上の点なので、
α⁻＝1/α、β⁻＝1/β、γ⁻＝1/γと置けるので、

→　(z－β)＝－(γ－α)/(1/γ－1/α)×(z⁻－1/β)
右辺の分母分子にγαをかけると、
→　z－β＝－(－γα)×(z⁻－1/β)
→　z－β＝γα(z⁻－1/β)

®️

とても助かりました。丁寧にありがとうございます！