Question

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どこからこれが分かるんですか？

OO00
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重要 例題112 放物線の弦の中点の軌跡
放物線C:y=x"と直線!:y=m(x-1)は異なる2点 A, B で交わっている。
(1) 定数 m の値の範囲を求めよ。
(北海学園大)
(2) m の値が変化するとき,線分 ABの中点の軌跡を求めよ。
基本 108
指針>(1) 放物線と直線の方程式からyを消去したxの2次方程式(これを①とする)の判別
式をDとすると
(2) 線分 ABの中点の座標を(x, y) として, 次の方針で進める。
I xとyをつなぎの文字 m で表す。
2 mを消去してx, yだけの式を求める。
このとき,(1)より m に制限がつくから,軌跡は曲線の一部になる。
放物線と直線が異なる2点で交わる→D>0
2次方程式ので解と係数の関係を使う。
解答
(1) y=x°と y=m(x-1) から
整理すると
Cとは異なる2点で交わっているから, ① の判別式Dに
直線 y=m(x-1) は, mの
値にかかわらず,点(1,0)
を通る。
x°=m(x-1)
x2-mx+m=0
の
9
ついて
D>0
D=(-m)°-4m=m(m-4) であるから
m(m-4)>0
m<0, 4<m
(2) 2点A, Bのx座標は, 2次方程
式のの異なる2つの実数解 α, β で
ある。線分 AB の中点をP(x, y)
とすると,解と係数の関係から
α+B
よって
AO を解いて2点 A, Bのx
座標を求めることもできる
4
e
が,解と係数の関係を利用
A
※P(x, y)
する方がずっとらく。
B
m
X=
2
0
1
2
にを掛ける。
る
ケ
また, P は直線l上の点であるから
1
y=m(x-1)=ml
m
ー1
-1)= m?-m …③
2から
| に代入して整理すると
また,(1)の結果と ②/から
m=2x
2
y=2x?-2x
つなぎの文字 mを消去。
なお,2をy=m(x-1)
に代入してもよい。
2x<0,4<2x
したがって
x<0, 2<x
求める軌跡は
放物線y=2x°-2.c の x<0, 2<xの部分
いも
ソ=+-(a+B)°-2aB _ m*-2m
参考 ③は
としてもよい。
2
AA, Bは放物線C上の点で
2
2
あることか

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

めい

線分ABの中点を点Pと置いてるから。