Question

高校生ONCE

この問題の(3)なんですけど、解説の赤線部分の考え方がどうして必要なのですか？教えてください😭

N
総合演習
黄合 数学1
第2章 複素数と方程式
6
aを実数,zを0でない複素数とする。zと共役な複素数を2で表す。
a
(1) z+1-2
151は
(2) 2+1-=0を満たするが存在するようなaの値の範囲を求めよ。
大本前)
(3) 2(z)+z-=0 を満たす2が存在するようなaの値の範囲を求めよ。
=0 を満たするを求めよ。
る
a
るあケ爆音)
宿
a
52
(東北大)
55 ょるたさ焼

数学I- 263
ここで
D=1°-4·1·(-a)=1+4a a="9
さ 関 沿
219L
ゆえに
の 1
a2-
ら… =2十
D20から
その共術
(3) 2(z)+z-ド=0 の両辺にぇを掛けて
1+4a20
2
4
! ,あケ-=,0
(22)+zz-a=0
2z は実数であるから,Xを実数として, zz=Xとおく。
る
2
スキ0 により,X=zz>0であるから, ② が正の実数解をもつよ
すなわち
X?+X-a=0
ち込
上
そy=X°+X-aのグラ
フがX軸の正の部分と,
少なくとも1つの共有点
うなaの値の範囲が求めるものである。
2が実数解をもつための条件は,判別式を Dとすると D20
をもつための条件を考え
1
D=1+4a であるから,1+4a20より
aミー-
てもよい。
4
「の
ちS0I= )
このとき,2つの実数解を α, βとすると, α+β=-1<0より,
a, Bがともに正であることはないから, 正の実数解をもつため -(1)
には
200
aB=-a<0 すなわち a>0……… の
もケ0<ロ+!
3, Oの共通範囲をとって
a>0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

解説の途中にzz⁻>0というのがあります。
zz⁻＝Xと置いていて、
X²+X-a=0の解の判別をしています。
Xの解はどちらかは正でないといけないのですが、
2つの解をα、βとしたとき、
α+β＝-1＜0だから、
αかβはどちらも負である可能性も残ってるんです。
その可能性を消さなければならないので、
αβ＜0という条件を加えて、α、βのどちらかが正であることを追加したわけです。

正直回りくどい解説でもっとシンプルでいいのにと思いました。
a＝に変形して、
a=(zz⁻)²+zz⁻
　＝(zz⁻+1/2)²-1/4
zz⁻>0だから、a＞0

高校生ONCE

質問なんですが、X＞0と置いていて、X=α、βとしているのであれば、どちらかが正じゃなくて、両方正である必要があるのではないでしょうか？

きらうる

そう、範囲解答ではその辺があいまいなんですよね。
zz⁻>0　→　zz⁻が負じゃない
って強引にもっていってるので。
α+βが負になっちゃうもんだから、どっちかが正じゃなきゃいけない！ってムリヤリな感じ。

その点、自分が示した解法ならその点を気にせずa>0が示せるので良いんじゃないかと。

高校生ONCE

まじでありがとうございます！！
助かりました！