Question

IK

この問題の(2)についてです
解答の2行目の部分のように、なぜおけるのですか？

東
整式(x) を(xー1)?で割ると 2x+2余り, (x+1)?で割ると3x-1余る。
1) f(x) をx?-1 で割った余りを求めよ。(10点)
(場
91
子)をーでれたとすの南をQa保りをスでtbとタる。
ナ(x)= (スン17Qx)faxtb = (xー1) (xt/)@6)+axtb ®
f17=4, fC1)=-4 よ4 @にそれぞれゼ入して
fu)-atb-4
fA)=-0+bー4
tして解いて α=4 b00
あて場合りは 47
*(2) f(x)をxーxーx+1 で割った余りを求めよ。 (15点)
Forをxンズーグを1てれたときの商をQこ2) 余りをαXをbス+Cとるの
fa7= (スンズース+ スフイのズーウメC= (ベー1)(メー1) Q2(x)+arttboat C

解答
1. (1) f(x)をx-1 で割ったときの余りを ax+b とする。
剰余の定理により f (1)%3D43Da+b,
f(-1)=-4=-a+b
ゆえに a=4,630
よって,(x)を-1 で割った余りは 4.x
(2) xーxーx+1=(x+1)(x-1)?であるから
f(x)=(x+1)(x-1)°Q(x)+がx-1)+q(x-1)+r
とおける。
(x)=(x-1){(x +1)Q(x)+か+qx+(ァー4)
f(x)を(x-1)?で割ったときの余りは 2x+2 であるから
ゆえに q=2, r=4
q=2, rーq=2
このとき,(x)=(x+1)(x-1)°Q(x)+がx-1)°+2x+2
また,(x)を(x+1)° で割ったときの余りは 3x-1 である
から,剰余の定理により
f(-1)=-4=4p
ゆえに,f(x)をxーズーx+1 で割った余りは
ー(x-1)+2(x-1)+4=-+4.x+1
ゆえに p=-1