高1数学です。
2つとも分かりませんでした！
教えて下さい
回答
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(2)だけやります。
√(n²+84) = k (kは自然数)
と置きます。
両辺を2乗して移項すると
k²-n²=84
(k+n)(k-n)=84
となります。
整数問題において, 積の形を作る(すなわち因数分解)というのはとても重要な考え方で, この形に持ち込むことがゴールです。
かけて84になるペアはたくさんありますが, ここから様々な条件から絞り込みを行います。この絞り込み方がポイントです。
①大小関係
kとnは正の整数なので, k+n>k-nとなります。
ゆえに, (k+n, k-n)=1,84のようなペアは省けます。
②偶奇の一致
k+nとk-nを引いた(k+n)-(k-n)は2nとなります。
nは正の整数より,2nは偶数です。
ゆえに, 積となるペアは引いて偶数となる必要があります。ここで, 引いて偶数となるということは, 偶数-偶数か奇数-奇数となります。
つまり, k+n,k-nの偶奇は一致します。(両方偶数か両方奇数であるということ)
ここで, (k+n)(k-n)=84において右辺の84は偶数なので, k+nとk-nはかけて偶数になるということです。奇数どうしならかけて偶数にはならないので, k+nとk-nはともに偶数だとわかります。
よって(k+n, k-n)=(84,1)のようなペアはともに偶数とならないため×です。
以上を踏まえると
(1,84), (2,42), (3, 28), (4,21), (6,14), (7,12)
は①よりアウト
(84,1)→②よりアウト
(42,2)
(28,3)→②よりアウト
(21,4)→②よりアウト
(14,6)
(12,7)→②よりアウト
したがって(k+n, k-n)=(42,2) (14,6)
連立方程式を解いて
k+n=42
k-n=2
n=20
k+n=14
k-n=6
n=4
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理解できました！
ありがとうございました