Question

S

微分積分です。(2)は普通にαでいつものように微分したらダメなのでしょうか？　どの解答も不等式ではさんで極限を取ってます。　お願い致しますm(__)m

【参考問題4】 2012·慶態大(医)
π
(1)0Sa<BSかつR>0とする。極座標(r,0)に関する条件0SrSR,«S0SBに
2
より定まる図形を×軸の周りに回転して得られる立体の体積をTとする。このTを文字a,B,R
を用いて表せ。
(2)極方程式r= f (e)(0 S0Sa)で表せられる曲線Cと、0= «で表せられる直線!およびx軸
T
の正の部分に囲まれた図形をSとする。ただし、0<a<;とし、関数f(0)は連続かつ
2
f(0) > 0を満たし、0S0S«において増加または減少または定数とする。Sをx軸の周りに
d
回転させてできる立体の体積をV(α)として、
ーV(α)を求め、V(α)を求めよ。また、Sを
da
直線の周りに回転させてできる立体の体積をW(α)を求めよ。
(3)(2)において、f(0) = Vcos e とするとき、V(), w()の値を求めよ。

2π
-m°(cos a - cos β) sV(B) - V(a) S M°(cos a - cos B) と評価が出来ます。
2π
3
この式で、「B→ a」としてあげることで、メチャメチャ細長い扇形で形成される微小体積
AVが求まります。この微小体積を足し合わせれば(Jを取れば)、体積Vが求まります。本
問は、V(a)を求めてくれ。と言われているので、「β-→a」としましたが、もちろんV(B)を
求めろ。と言われた場合は、「a→B」を考えればイイのです。上式の両辺をβ-aで割ると、
(cos a - cos B)。v(B) - V(a) 2n,
ミーM.
3
2π
(cos a - cos B)
-m?
3
S
B-a
B-a
B-a
「B→a」を考えます。このとき、m→ f(a), M → f(a)となります。メチャメチャ偏角が小
さい扇形を考えると、扇形の半径は等しいですよね。また、最左辺と最右辺に存在する
(cos a - cos B)
(cos a - cos B)
は、lim
: -(cos x)'l=a = sin a となります。
B-a
B-a
V(B) - V(a)_2n,
よって、ハサミウチよりlim
B→a
-G(a)}} sin a となります。
B-a
3
コレは、B>«のときの片側極限ですので、a>βのときも同様と言及しておきましょう。
V(B) - V(a)_2n
したがって、
-V(a) = Lim
da
『(a)}? sin a となりますね。
B-a
2π
コレをaを0に直して、両辺を0で積分すると、V(a) = |(0))? sin é de です。
0

極限 微分 積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tak

解答として間違いがなければいいとは思います。

S

ありがとうございます。　実は全然理解できてなくて、普通に微分しても答えが合いませんでした。
f(θ)^3はxyに変換してあるから微分しても良くて、係数の3が前に出てくるはずなんですが、、、2/3πになりませんでした。　よろしければ教えてください！

Tak

どの関数を微分したいのか、教えていただけませんか？

S

2π/3•M^3(cosα-cosβ)ですね。　回転体って微分したら何になるのかすら分かりませんが。

Tak

それは不等式の右辺をαで微分するということですかね？

S

M^3ではなくf(α)^3でした。

Tak

回転体の微分と要っていたので、その式は(1)の答えですかね？

Tak

ちなみに、f(α)^3 をαで微分できるとは限らないことは、気づいてますか？

S

(1)の答えです。(1)の答えも載せておきます。

r=f(α)をxyに変換して、x=f(α)cos、 yも同様にしているので大丈夫かなと思ったのですがダメでしょうか。

Tak

質問の意図を勘違いしてました。
てっきり、直接V(α)を求めてから、微分してもいいのではないか、ということだと思ってました。

(1)の答えに何らかの変換を加えて、微分したいってことですね。

Tak

ちなみに、そのような変換をした意図というのはなんですか？

S

拙くてごめんなさい。直接V(α)を求めて微分で合っています。
xyに変換とは、極座標表示をxy平面の表示に変えるだけです。何度も申し訳ないです。

Tak

となると、(1)の結果を使うために、R=f(α) とした上で、xy表示(直交座標表示に変換してる)ということですかね？

S

すみません、(1)を解くときに、f(α)はxy平面に置かれた(x=f(α)cos、y=f(α)sin)ので、xy平面に置かれたならいつもように3f(α)^2と微分するのは大丈夫でしょうか？　という意味です。本当に申し訳ないです。

S

同じこと言ってるように見えますが、伝わってほしいです。　(1)の答えのf(α)はx=f(α)cosのf(α)だから普通に微分しても良いでしょうか？ということです。

Tak

なぜ微分が必要なのかまではわかってませんが、問題文にf(Θ)の微分可能性は仮定されていませんので、f(α)を含む式をαで単純に微分できませんよ。

Tak

しかし、f(α)は微分できなくても、V(α)となるとαで微分できます。

S

V(α)=〜の中にf(α)とcosαがありcosαは微分できるがf(α)の微分をどうすれば、という意味です。
問題文に与えてくれないとダメなのですね。

V(α)となると〜という文の意味は不等式で挟んで微分という解答のでしょうか？

Tak

一般に、連続関数の不定積分は微分可能になるという事実があります。

そのことから、V(α)が微分可能性は従いますね。

この問題は、V(α)は微分できるから、その微分を求めるために不等式で挟んで評価しよう、という流れだと思いますよ。

Tak

V(α)を直接求めるより、微分を求める方が簡単という理由があると思いもす。

Tak

そもそも、高校数学までの範囲では直接V(α)を求めることはできないのかもしれませんね。

S

理解できました！　長らくありがとうございます！
親切にしてくださり嬉しいです！m(_ _)m