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姉の枚数をXに置き換えて計算しているからです。
全部の枚数:姉の枚数→110:X
比で表すと、姉と妹の枚数の合計が110になるので、110の部分の比は5。なので、
全部の枚数:姉の枚数→5:3
になります。だから式は、
110:X=5:3になります。

途中式がX×5=110×3になるのは、
このような比の式では、外側と内側をかけた積はそれぞれ等しくなるからです。

よく分かりました。
詳しい解説ありがとうございます(*゚▽゚*)

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