✨ ベストアンサー ✨
多分f(n)=n³-7n+9と置いているんですよね。
取っ掛かりが見えないときは、試しに何回かnに値を入れてみるといいです。
f(0)=0-0+9=9で素数じゃない。
f(1)=1-7+9=3で素数。
f(2)=8-14+9=3で素数。
f(3)=27-21+9=15で素数じゃない。
f(4)=64-28+9=45で素数じゃない。
f(5)=125-35+9=99
f(1)とf(2)を除いて皆素数じゃない(=合成数)ですが、どれも3の倍数になっていますよね。ということは延々と整数を代入しても毎回3の倍数が返ってきそうだ、f(n)は3の倍数になっているのでは？と予想がつきます。仮にそうであれば、3の倍数の中で唯一素数の3が答えになりますよね。
では確かめにいきましょう。kを整数として
(i)n=3kとする
f(3k)=27k³-21k+9
=3(9k³-7k+3)
3×(整数)より3の倍数
(ii)n=3k+1とする
f(3k+1)=27k³+27k²+9k+1-21k-7+9
=3(9k³+9k²-4k+1)
3×(整数)より3の倍数
(iii)n=3k+2とする
f(3k+2)=27k³+54k²+36k+8-21k-14+9
=3(9k³+18k²+5k+1)
3×(整数)より3の倍数
(i)(ii)(iii)より、nに「3の倍数」「3で割って1余る数」「3で割って2余る数」いずれを入れてもf(n)は3の倍数になることが確認できました。整数を3で割った余りのパターンはこの3つですから、どんな整数をいれてもf(n)は3の倍数になるということになります。
ということで、3の倍数の中で唯一の素数である3がf(n)に整数を代入することにより作れる素数です。
今回はf(n)が素数となるようなnを求めよという問題なので、nを導く式を立てると
n³-7n+9=3
n³-7n+6=0
n³-6n-n+6=0
n(n²-1)-6(n-1)=0
n(n+1)(n-1)-6(n-1)=0
(n-1){n(n+1)-6｝=0
(n-1)(n²+n-6)=0
(n-1)(n+3)(n-2)=0
n=-3,1,2
返信とても遅くなってしまい申し訳ございません！
地道に規則性を見つけていくということですね！
ありがとうございました！
すみません、誤字を訂正して1度、問題の読み間違いが発覚して1度、回答を削除させて頂きました。
ご迷惑をおかけしました。