Question

ﾄﾞﾛﾀﾞﾝｺﾞ

高一です。 数Iの集合と命題の証明で、模範解答では背理法で証明しているのですが、画像のように対偶を証明しても正答ですか？

90
113 実数xが正の無理数であるとき, Vxは無理数であることを証明せよ。
レ S
対偶「丘が無理数でないとき、実数とは正の無理数でない
を証明ある。
にが無理数でないとき」→「仮が有理数であるとき
となるから、応は1メタトに正の公約数をもたない。
の自然数のなを用いて
sC= と表される。このとき、両辺を2乗するし
C O
2
a
C=
6?
m
この管式は実数工が分数分(ただし、てキ0)の汗クで売く
れることを示している。つまり、実数とは有理塗知である
から、実数ては正の無理数ではない。
らて、対偶は真である。
したがって、もとの年題は真である。

数学i 集合と命題 証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

この命題の対偶はちょっと難しそうですね
そもそもp⇒qの形になっているかも疑問ですが、

仮に「実数xが正の無理数」⇒「√xは無理数」という命題であるとしましょう

この対偶は「√xは有理数」⇒「実数xが正の有理数」ではありませんね

実数xが正の無理数の否定を正しくしましょう
実数xが「正の」「無理数」なので、
実数xについて、x>0かつxは無理数
↑これの否定なので、実数xについて、x≦0またはxは有理数
という条件になります

でも、実際はxは有理数だということさえ言えていれば証明自体は正しいと言えるので大丈夫ですが。

根本的な疑問はこの文書をp⇒qの命題と受け取ってOKなのか？というところですかね
これぐらいだったらOKなのかなぁ、、、

ﾄﾞﾛﾀﾞﾝｺﾞ

わかりやすい説明をして頂き、ありがとうございます。そう考えると、やはり背理法で証明するのが無難ですね( ˊᵕˋ ;)💦(証明自体もここまで長くならないですし)

aporon

最後のところで曖昧にしてごめんなさいね
数学論理学について最近、勉強始めたばかりなので理解できていないところが多いんです

それと、背理法を全て対偶による証明をつけている数学者がいるくらい、背理法に疑問をもっている方もいます

背理法も対偶証明法の一種かと思いますので、ご自分で数学論理学について勉強してみるといいかと思います。

とはいえ、その視点を持っていることが素晴らしいと思います！勉強頑張ってくださいね。