この積分を計算するときに

数学

高校生

解決済み

約5年前

この積分を計算するときに
ほんとはx=sinθで置いてやったら出来たんですが、
初めに間違えて(1-x²)^-1/2 ←(この後①)に直して計算しちゃったんですよ！

そのとき、なんでx=sinθで置くのか疑問に思って
①に置いた時に計算できないからx=sinθと置くのか
x=sinθの方が楽だから置くのかどっちですか！

また、求めようとしたとき下端を代入すると1/0ができないから無いものとして計算進めていいのか
(これがいいとしたらx=sinθのときと値が変わってしまうのはなぜ？)
できないからこの方法で積分が出来なくてx=sinθの方法で求めるのか……？

0 xP 「7ース 2 da. 1-2 (1-ズ) 0 7. の問いに答えよ。メンジnl ン sia0 とおとときとほが変わる! 1 ののとき,不等→ /2

積分

回答

✨ ベストアンサー ✨

のりざえもん

約5年前

まず、x＝sinθと置いた時と答えが違うのは、途中で式が＝で結べなくなっているからです。（画像参照）
また、なぜx=sinθで置換するかについては逆算的な発想なので、正直なところ経験です。たくさん演習すれば、直感的にわかってきます。（tanx/2=tとか置く問題も同様）

また、1/0になってしまうということについては、大学の微積の広義積分という所で取り扱いますが、高校の微積では出てきません。ですので、高校の普通の積分の問題で不定形が出てきたら、どこか計算ミスをしていると考えるといいと思います。

こつぶ約5年前

丁寧にありがとうございます!!!!
-2x dx = dtになってしまうからこのやり方は出来ないということですか??

それとも計算ミスしたからでしなければいけるんですかね??
友だちとも何回も確認してもらって計算ミス分かんなかったので良かったら教えて貰えたら嬉しいです🙇‍♀️🙏

のりざえもん約5年前

Q:-2x dx = dtになってしまうからこのやり方は出来ないということですか??
→そうです！計算して上手くいかない時はx=sinθやtanθなどに置き換えると上手く解ける場合があるので試してみてください。
＋αとして、以下の公式を覚えておくと計算がスムーズにできます👍（時間があれば導出もしてみてください。）