Question

宝トミー

4次式にする理由がわからないです

3 x?で割るとx-3余り,(x+1)?で割ると2x 余る多項式のうちで,次数が最小のものを
求めよ。
多項式 P(x)を4次式 xx+1)° で割ったときの商をQ(x), 余りをR(x) とすると, 次の
等式が成り立つ。
P(x) =x{x+1)°Q(x) + R(x) [R(x)は3次以下の整式または0]
P(x) をx?,(*+1)?で割ったときの余りは,R(x) をx?, (x+1)? で割ったときの余りに
それぞれ等しいから,求める多項式は R(x) である。
R(x)をx,(x+1)?で割ったときの商は1次式または定数であり, 条件から
R(x) =x{ax+b)+x-3
R(x) =(*+1){ax+c)+2*
x{ax+6) +xー33(x+1){ax+c)+2x
これはxについての恒等式である。両辺を展開すると
と書ける。
よって
ax°+bx?+x-3=ax°+(2a+c)x°+(a+2c+2)x+c
係数を比較して
b=2a+c, 1=a+2c+2, -3=c
これを解くと
したがって,求める多項式は
a=5, b=7, c=-3
R(x) =x{5x+7) +x-3=5x°+7x?+x-3

余剰定理、因数定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

問題でP(x)に関しての情報が
「P(x)をx^2で割った時の情報」
「P(x)を(x+1)^2で割った時の情報」
の２つしか与えられてないので、その両方が使えるように「P(x)をx^2・(x+1)^2でわること」を考える。
4次式に意味があるのではなく、
x^2・(x+1)^2であることに意味がある。