Question

あやか

19の問題の解き方を教えて欲しいです。問題の意味も理解できてないです。

*19 全体集合びとその部分集合 A, Bについて, 次が成り立つとき, n(ANB)
のとりうる値の最大値, 最小値を求めよ。
(1) n(U)=50, n(A)=23, n(B)=35
(2) n(U)=80, n(A)=40, n(B)=30

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

全体集合Uと部分集合A、Bの関係はいくつかあります(後掲載する写真)
例えば左上のA∩Bは0、右下のA∩BはBといえます。
さらに、左下のように、(A∪B)⁻が0の場合もあります。
どの場合が最大になって最小になるかを考えていきましょう。

とりあえずここまで理解できましたでしょうか。

きらうる

写真です

あやか

左下がなぜそのようになるのかわからないです。
すみません…

きらうる

左下の図は、AにもBにも属さない要素が1つもない、ことを表します。
例えばU＝{1,2,3}、A{1，2}、B{2,3}の場合、AにもBにも属さない要素はありませんよね。こういう時には左下のようなベン図になります。まぁ、ベン図はイメージなので、左下も右上も変わらないものととらえないとこんがらがると思います。

あやか

なるほど！左下の図理解できました！

きらうる

では今回の問題に行きます。

A∩Bの最大値はすぐにわかります。上の写真のベン図の右下になります。
最小値は少し注意が必要で、A+B＞Uの場合と、A+B＜Uの場合で変わります。
(1)はA+B＞U、(2)はA+B＜Uとなっています。

(1)
A+B＞Uの場合、A∩Bが存在し、AでもBでもない要素が存在しないときがA∩Bの最小値となります。
A∩Bの数を求めたい場合、A+B-Uをします。
23+35-50＝8　これがA∩Bの最小値になります。

(2)
A+B＜Uの場合、A∩Bが存在しません。AでもBでもない要素が存在します。
上記の式にあてはめると、
40+30-80＝-10　とマイナスになります。-10という要素の個数はありませんので、A∩Bは0となります。

あやか

A+B>Uの場合とA+B<Uの場合で最小値が変化するんですね！
（1).(2)の両方理解できました！！
こんなに丁寧に説明していただいてありがとうございました！！感謝しかないです！！