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x²-y²はまず、(x+y)(x-y)ですね。この形を見たら、その瞬間に因数分解したくてたまらなくなるくらいにはなってくださいね。
そうしたら、x+yとx-yを作りに行くところがゴールです。あまり数学に慣れてないと、連立方程式からとりあえずxとyが求まるから、それぞれ求めてからそれらを足す、引くとすればよいのかな、なんて思うかもしれませんが、それだとわざわざ因数分解した意味があまりありません。x+2yと2x+yは比較的対称でキレイな形なのでこの2つの式を足し引きしたらどうにかx+yとx-yが作れるんじゃないかと考えます。
2x+y=4√2 ...①
x+2y=2√5 ...②
①+②より
3x+3y=4√2+2√5
3で割ると
x+y=(4√2+2√5)/3です。
①-②より
x-y=(4√2-2√5)
よって
(x+y)(x-y)
=(4√2+2√5)(4√2-2√5)/3
=(32-20)/3
=4
が答えです。
ありがとうございます！！！
実はもっとスマートな別解も考えられると思います。
①②をそれぞれ2乗します。
4x²+4xy+y² =32 ...③
x²+4xy+4y²=20 ...④
③-④より
3(x²-y²)=12
こっちの方が答えとしてはキレイですが、なかなか思い付かないと思います。