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正四角錐の底面と側面では形が違うので区別があるから。

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今回は面の数と色の数が一緒なので、底面なんてどうでもいいです。
5色のうち4色を決めて側面を塗るんですが、話を簡単にすると数珠順列です。
(4-1)!×5C4でいけるんじゃないですか?

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