Question

高校生

（3）の問題はなぜ、α^3+β^3とα^3β^3で考えるのですか？詳しくお願いします。

(3) 2次方程式xーx+2=0の2つの解を α, βとするとき, α°, β3 を解にもつ2次方
程式の1つはx+ ク x+
ケ|=0 である。
解説)
(1) x?+ax+b=0がx=2+ 3i を解にもつから! x%3D2-3iもこの2次方程式の解であ
る。よって, 解と係数の関係から
(2+3i)+(2-3i)=la, (2+3i)(2-3i)=D6
ゆえに
a=-4, b=13
別解 x=2+3i をx+ax+b%%3D0に代入して (2+3i)?+a(2+3i)+b=0
左辺を整理すると
(2a+b-5)+(3a+12)i=0
a, bは実数であるから
2a+b-5=0, 3a+12=0
よって
a=-4, b=D13
(2) 2次方程式 x?-3(m+1)x+4m+10=0 の2つの解を α, 2a (αキ0) とおくと, 解と
係数の関係から
α+2α3D3(m+1)
の
2α3D4m+10
のから
α=m+1
m=-2, 2
これを2に代入して整理すると
(3) 解と係数の関係から
m?=4
ゆえに
α+8=D1, aβ=2
α+β°ー (α+β)°- 3aβ(α+β)=1°-3-2-1=-5
α°p°= (aB)°=D2°=8
よって
x?+5x+8=0
ゆえに, α° と β3を解にもつ2次方程式の1つは