Question

髙瀬

100番の解説の黄色いマーカーを引いた部分の式変形で躓いています、どなたか解説よろしくお願いいたします

F(8+52)x-3(1+i)=0
100 2次方程式 x°-px+2か=0 の解は虚数で, 解の3乗は実数であるとき, 実
数かの値を求めよ。
97 > 判別式をDとすると, どのようなkの値に対しても D<0 が成り立つaの値の範囲

100 2次方程式の解は虚数であるから, 判別式を
Dとすると
D<0
ここで
D=(-p?-4-2p=DD(カー8)
よって
p(p-8)<0
これを解いて
このとき,1つの虚数解を αとすると
0<かく8
の
α?- pa+2p=0
a?= pa-2p
a°=aa?= a(paー2p)
= pa?-2pa=Dp(pa-2p)-2pa
α°=(がー2pa-2が Paミ28-2F0
p-2pキ0 とすると, かは実数で, aは虚数であ
よって
ゆえに
よって
るから,右辺は虚数である。
これは,左辺の αが実数であることに矛盾する。
p-2p=0 すなわち がカー2)=0
ゆえに
のから
p=2
別解 解をa+bi(a, bは実数でbキ0)とおくと
ケニニ
a?-b?-ap+2p+6(2a-pi=0
C-6(a+bi)}-Ma+bi)+2p=0
整理して
a?-b?-ap+2p, b(2a-t)は実数で, bキ0で
あるから
a?-b?-ap+2p=D0
2a-p=0
の
8e
2)
(a+bi)°=a°+3a'bi-3ab?-bi
0-1E=α°-3ab?+b(3a°-6)i
解の3乗は実数で, bキ0 であるから
3
また
3a°ー6=0
②から
p=2a
6°=-a+4a
のに代入して整理すると
③に代入して整理すると
a(a-1)=0
よって
a=0, 1
③から, a=0のときb=0となり, bキ0を満た
さない。
ゆえに
a=1
④に代入して
p=2