Question

みみさん。

⑵で質問があります。
黄色マーカーのところの答え方が何故そうなるのか分かりません。
また、「〜となり、aの範囲は求められない」て感じの答え方は間違いですか？？

青マーカーのところは気にしないでください。質問しようと思っていましたが質問する前に解決しました。

補足　チャートに直引きしている蛍光マーカーが紛らわしいのですが、自分が言っている黄色マーカーの部分は、
　　　解答のとこのマーカーのことです。

180
基
0三
基本 例題113 絶対不等式
見A
う
(2) 任意の実数xに対して,不等式 axー2/3x+a+2S07か成り立っよう、
数aの値の範囲を求めよ。
すべての実数xに対して, 2次不等式ポ+(k+3)xール>0が成り立っ、
ナイスッ
定数をの値の範囲を求めよ。
(演習129,
AP.171 基本事項 6]
指針
常に ax'+bx+c>0→a>0, D<0
C
(1) の係数は1(正)であるから, D<0が条件。
(2) 単に「不等式」 とあるから, a=0(2次不等式で
ない)の場合とaキ0 の場合に分ける。
補足 ax+bx+c>0に対して, a=0 の場合も含め
ると、次のようになる。
常に ax+bx+c>0→a=b=0, c>0; またはa>0, D<0
Sと
x
[a<0, D<0]
[a>0, D<0]
解答
(1)の係数が1で正であるから, 常に不等式が成り立 |「すべての実数x」または 「任意の実
つための必要十分条件は, 2次方程式
x*+(&+3)xーk=0の判別式をDとすると
D=(k+3)°-4-1.(ーk)=D°+10k+9=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より (k+9)(k+1)<0
ゆえに -9<く-1
数x」に対して不等式が成り立つと
は,その不等式の解が, すべての実
数であるということ。
D<0
(1)のD<Oは、下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
(2) a=0のとき、不等式は -2、/3x+2<0 となり、例え(*) グラフがx軸に接する,また
ばx=0のとき成り立たない。
aキ0のとき,2次方程式 ax°-2/3x+a+2=0 の判別
式をDとすると, 常に不等式が成り立つための必要十
分条件は
はx軸より下側にある条件と同じ
であるから,D<0ではなく D<0と
する。
a<0 かつ DS0
-(-V3)-a(a+2)=-α'-2a+3=-(a+3)(α-1)
であるから,Dハ0より
(a+3)(a-1)20
よって
aS-3, 1Sa
a<0との共通範囲を求めて
すべての実数 xについて, 2次不等式 ax+bx+c>0が成り立つ
→2次関数 y=ax"+ bx+cのグラフが常にx軸より上側にある
→a>0(下に凸)かつ D=6ー4ac<0 (x軸との共有点がない)
aミ-3
(1) 不等式x-2x2kx-4の解がすべての実数であるような定数kの値の範囲
X
[a>0, D<0]
練習
113
の
を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

き

「任意の実数xに対して(不等式)が成り立つ」というのは「どんな実数xを代入しても(不等式)が成り立つ」という意味です。

しかしa=0のときは不等式が-2√3x+2≦0となり、これを解くとx≧1/√3となります。裏を返せばx<1/√3を満たすどんなxも不等式を満たさないということです。これは元々問題文にある「任意の実数x」という部分に反していますよね。
解答では「不等式を満たしてないxが1つ具体的にあったよ」と採点者側に見せているに過ぎません。

> また、「〜となり、aの範囲は求められない」て感じの答え方は間違いですか？？
a=0も立派な範囲の一部ですのでこの答え方は少し変ですね。「題意を満たさない」などの表現の方が適切かと思います。
自分なら「a=0のとき不等式は-2√3x+2≦0 つまりx≧1/√3となり題意に反する」と書いて次に進みます。

みみさん。

丁寧にありがとうございます！そう言う答え方もあるんですね！！

Answer 2

HS

2次不等式は(1)と同様に判別式を考えますが、
a=0のときは1次不等式になります。
1次式には(2次式の)判別式の概念がないので、
a=0のときは別途考えます。

本題です。
a=0のときは-2√3x+2≦0となります。
「直線y=-2√3x+2がすべての場所xでx軸以下」
であれば、a=0は条件を満たすことになりますが、
これは成り立たず、a=0は答には入りません。

その成り立たない例（反例）を挙げれば
成り立たないことが示せます。
その一例がx=0という場所です。
（x=0では直線はx軸より上にあるからダメ）
別にx=-1とかでもいいです。

「〜となり、aの範囲は求められない」て感じの答え方
はちょっと謎になりますね。
aの範囲を求められないわけではありません。
いまa=0と仮定していますので。
「条件を満たさない」とか
「不等式を満たさないxが存在する」とか
「不等式を成り立たせないxが存在する」
ということですね。

みみさん。

丁寧にありがとうございます！やっと解説の意味が分かりました！