Question

ゆたんぽ

別解の欄の下線(点線)部分2行目が成り立つ意味がわかりません。よろしくお願いします🤲

基本 例題 54 剰余の
整式 P(x)をx+1 で割ると余りが-2, x-33
余りが、
基本
P(x) を(x+1)(x-1)(x-2) で割ったときの商をQ(x), 余り
をax+bx+cとすると, 次の等式が成り立つ。
P(x)= (x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bx+c
ここで, P(x)をx+1 で割ると余りは-2であるから
43次式
解答
次以下
の
(B=0
2
また, P(x)をxー3x+2すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)-3x+7
P(-1)=-2 .
を代
の商をQ(x) とすると
求め
P(1)=4
3,
P(2)=1
ゆえに
よって, ① と②~④より
a-b+c=-2, a+b+c=4, 4a+26+c=1
a=-2, b=3, c=3
(第
26
この連立方程式を解くと
-2c°+3x+3
したがって, 求める余りは
別解 [上の解答の等式① までは同じ]
x-3x+2=(x-1) (x-2) であるから,
(x+1)(x-1)(x-2)Q(x) はx?-3x+2で割り切れる。 の
ゆえに, P(x) をx?-3x+2 で割ったときの余りは,
ax°+bx+cをxー3x+2 で割ったときの余りと等しい。
P(x) をxパー3x+2で割ると余りは一3x+7であるから
ax+bx+c=a(x°-3x+2)-3x+7
よって,等式①は, 次のように表される。
P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+a(x°-3x+2)-3x+7
こ
したがって
P(-1)=6a+10
P(x)をx+1で割ると余りは-2であるから P(-1)=-2
ゆえに
6a+10=-2
よって
-2(x-3x+2)-3x+7=-2.c°+3.c+3
求める余りは
a=-2

Answer 1

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P(x) を (x＋1)(x－1)(x－2)Q(x)＋ax²＋bx＋c を、

(x＋1)(x－1)(x－2)Q(x) と ax²＋bx＋c
に分けて考えましょう。

(x＋1)(x－1)(x－2)Q(x) を x²－3x＋2 で割った余りは 0 です。

よって、P(x) を x²－3x＋2 で割った余りは、ax²＋bx＋c を x²－3x＋2 で割った余りと等しくなります。