Question

YYY

⑴だけでもいいので解説お願いします
分かりません。。

5関数 y=3cos’0 +4sin0 cos0 (0s0s )について,次の問いに答えよ。
(1) yを sin20 , cos20.を用いて表せ。
4-3 cos 8
2cos 20
t
(2) yの最大値を求めよ。また,そのときの0の値を0」とするとき, sin20, の
値を求めよ。

Answer 1

mo1

2倍角の公式【sin2θ＝2sinθcosθ】より

　2sinθcosθ＝sin2θ

　 sinθcosθ＝(1/2)sin2θ　････････　①

2倍角の公式【cos2θ＝2cos²θ－1】より

　2cos²θ－1＝cos2θ

　　 2cos²θ＝cos2θ＋1

　　　cos²θ＝(1/2)cos2θ＋(1/2)　･･･　②

――――――――――――――――――――――――――――
①，②を利用して、

　y＝3cos²θ＋4sinθcosθ

　y＝3{(1/2)cos2θ＋(1/2)}＋4{(1/2)sin2θ}

　y＝(3/2)cos2θ＋(3/2)＋2sin2θ

　y＝2sin2θ＋(3/2)cos2θ＋(3/2)

mo1

(2) 合成公式【a･sin(x)＋b･cos(x)＝√{a²＋b²}･sin(x＋α)】

　【ただし、cosα＝a/√{a²＋b²}、sinα＝b/√{a²＋b²}】を用いて
　
　y＝2sin2θ＋(3/2)cos2θ＋(3/2)　から

　y＝(5/2)sin(2θ＋α)＋(3/2)

　　ただし、cosα＝4/5、sinα＝3/5　(0＜α＜π/2)

　★0＜θ＜π/2　から、α＜2θ＋α＜π＋α　なので

　　　2θ＋α＝π/2　のとき、sin(2θ＋α)が最大値1をとり

　　　　y＝(5/2)sin(2θ＋α)＋(3/2)の最大値は、4

　★また、2θ＋α＝π/2　のとき最大値をとるので

　　　　　　 2θ₁＝(π/2)－α　で

　　　sin2θ₁＝sin{(π/2)－α}

　　　　【余角の公式より】sin{(π/2)－α}＝cosα

　　　　【合成時で】cosα＝4/5　としてあるので

　　　sin2θ₁＝sin{(π/2)－α}＝cosα＝4/5