Question

おと

赤線部がよく分かりません。定義より直ちに証明ができるとありますが、
どのように証明すればよいのでしょうか？
教えていただきたいです！

無限等比級数
初項1の2つの無限等比級数 an, こbnがともに収束し,
1=1
1=1
a+h)-}および宮のbー
8
3
4
および Eanbn
n=1
n=1
5
が成り立つ、このとき, こ(an+bn)? を求めよ。
(長崎
n=1
an, bn の公比をそれぞれr, sとお
くと
精講
解法のプロセス
an=r"-1, ba=s"-t
とおく
an=r"ー1, bm=s"-1
E an, こ bnは収束するから
収束条件は,
n=1
n=1
Is|<1
r<1, Is|<1
このとき
anbn=(rs)"-1, |rs|<1
aaba=(rs)"-1
|rs<1 ゆえ
よって, Zanbn も収束する無限等比級数です。
Ea,b。 も収束
n=1
=1
また,一般に Z an, Z bnが収束するとき,
ん)
n=1
n=1
=1
2(an土b), can も収束して
n=1
n=1
1-
1
E(a,土b。)= 2 an±と b, (複号同順)
こa.b。
1-rs
=1
n=1
n=1
n=1
E ca,=cEan (cはnに無関係な定数)
n=1
n=1
となります。いずれも定義から直ちに証明できる
ので一度は確かめて下さい。
ただし,当然ですが等式
こanb,=(E a)(と b)
n=1
n=1
n=1
は成立しません。