左辺が自分は1/2(k +1)(2k +2)
となると思ったのですが、なぜダメなんですか？
ちなみに自分は初項1、公差2,末項2k+1の等差数列として和を計算しました．
回答
回答
末項が2k-1ですね。正しく計算すれば右辺と同じになります。
しかし、それだと数学的帰納法を使わないので、この問題の意図とは反します。
2(n-1)のn＝k +1を代入するので、末項は2k+1であってないんですか？
あと、なぜ数学的機能法かつかえなくなるんですか？
自分はn＝kが成り立つと仮定した時、k+1も成り立つことを証明すれば、数学的帰納法を使えると思うのですが…
もしかして、n=kのときを仮定してn=k+1のときに、公式を使おうとしたということですか？
そうです！わかりづらくてすみません！
おそらく、数学的帰納法の根本的なところが理解できていないです。数学的帰納法を使ってn=k+1でも成り立つことを示すときには、【必ず仮定を用いて】示さないといけません。
数学的帰納法というのは、「まず1番目は成り立つよ」と言った上で「k番目で成り立つならばk+1番目でも成り立つよ」ということを示す方法で、こうすることでなぜ示せるかということですが、1番目が成立したら2番目も成立、2番目が成立するならば3番目も成立...という風にして、ドミノ倒しのように示していけるからです。だから、k番目の仮定を使わずにk+1番目の成立を示したのならば、k番目→k+1番目の→の証明にはならないので、1番目→2番目、2番目→3番目ドミノ倒しにはならず数学的帰納法にはなりません。
逆に言えば、数学的帰納法の問題では、「どうやってn=k+1の形から無理矢理n=kの仮定の形を作り出すか」を考えながら変形することがポイントになります。例えば、写真の問題で2の(k+1)+1乗=2×2のk+1乗に分解しているのは、①の仮定の左辺の2のk+1乗の形を作りたいからです。
うまく説明できているか分からないですが、
https://examist.jp/category/mathematics/induction/
も見てみてください。
この根本的な仕組みが理解できれば、n=k,k+1の2つを仮定する、いわゆる「一昨日帰納法」のような応用パターンも理解できます。
はい！n=1のときの証明の成立、n＝kが成り立つ時、k+1が成り立つことの証明の成立をしています。
え、写真のような証明方法をしたってことではないんですか？
もちろん、n=k+1のときの計算自体は上の方の回答のように、成立はしますが、数学的帰納法の証明としてこれはアウトだという話なのですが...
この間違いよくあるので、そうかなと思ったのですが、誤った認識ならばすみません。
その証明に思い切り○をつけてますけど、それは✕だということを言っているんです...
すみません、どこが間違ってますか？何度もすみません！
さっきも言いましたが、重要なので何度も言いますけど、n=k+1の証明ではn=kの仮定を使わないといけないんですね。
しかし、質問者さんの証明は、等差数列の和の公式を用いて示したため、1+3+5+...+(2k-1)=k²がどこにも出てきていないんですね。
写真を見てください。
正しい方の証明は、仮定を用いた変形を経て、n=k+1のときでも右辺は(k+1)²となって①が成立することを示していますが、誤った方では仮定を使わずに(k+1)²として、①が成立すると言っているんですね。
言っている意味わかります？
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