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ベクトルと数の計算方法の違いを理解しましょう。
数→加減乗除、累乗
ベクトル→加減、内積
数には累乗(2乗3乗など)がありますが、ベクトルにはありません。つまり、ベクトルの2乗や3乗などは存在しません(※なぜ存在しないのかを考えるにあたっては、累乗の素朴な定義に立ち返って見るといいかもしれませんね)。
次に、絶対値記号についてですが、ベクトルにつける絶対値記号は、ベクトルの大きさを表すものです。ここで重要なのが、ベクトルの大きさは「実数」だということです。つまり、ベクトルに絶対値記号をつけると、それはベクトルではなく数になるということです。だから、ベクトルの大きさには2乗や3乗が存在します。
・ベクトルの2乗は存在しない
・数の2乗は存在する
・ベクトルの大きさは数
→ベクトルの大きさの2乗は存在する。
以上が、かっこではなく絶対値記号でなければならない理由です。かっこをつけただけだとベクトルを表しますが、絶対値記号をつけると数になります。
そしてこれが質問の答えです。絶対値記号は必要です。絶対値記号でなくかっこだと、ベクトルの2乗を表しますが、ベクトルの2乗などというものは存在しません。
最後に①について。
計算には次の内積の性質を用います。
[i] |a|²=a∙a
[ii] (a+b)∙c=a∙c+b∙c
したがって、①は次のようになります。
|a|²|PQ|²=|b|²|PR|²
|a|²|(1-2t)a+tb|²=|b|²|-ta+(1-t)b|²
|a|²|t(-2a+b)+a|²=|b|²|t(-a-b)+b|²
ここで、[i]を用いると、
|a|²{t(-2a+b)+a}∙{t(-2a+b)+a}=|b|²{t(-a-b)+b}∙{t(-a-b)+b}
さらに、[ii](内積の分配法則)を用いると、
{t(-2a+b)+a}∙{t(-2a+b)+a}
=t(-2a+b)∙t(-2a+b)+2a∙t(-2a+b)+a∙a ⋯(※)
=t²(-2a+b)∙(-2a+b)+2ta∙(-2a+b)+a∙a
これは、[i]を逆に用いると次のようにも書ける。
=|-2a+b|²t²+2a∙(-2a+b)t+|a|²
このように、大きさの2乗は内積の計算によって求めます。ちなみに(※)のように絶対値は外れます。[i]で絶対値の2乗を内積に変換しているからです。
理解できました。いつも分かりやすく教えて下さりありがとうございます。本当に助かっています。