Question

くう

波線の式変形が分かりません。
どのような計算でこうなるのか教えていただきたいです。🙇‍♂️

列
P37~P41
3 第6章 数
5 数学的帰納法
する。
題
数学的帰納法による等式の証明
28
nが自然数のとき,数学的帰納法を用いて,
等式1+2+4+…+2"-1=2"-1を証明せよ。 0-p (8)
考え方 n=kのときに等式が成り立つと仮定して, n=k+1のときの等式が成り
立つことを示す。
) 民 の●
与えられた等式を①とおく。
(1) n=1のとき,
よって,①は成り立つ。
(I) n=kのときの①, すなわち,
証明
(①の左辺)=1, (①の右辺)=D2'-1=1
Tー 8
13
1+2+4+……+2*-1=2*-1 .…②
が成り立つと仮定する。
2を用いて, n=k+1のときの①の左辺を変形すると,
1+2+4+…+2+2=2-1+2=2·2-1=2*+1_1
となり,n=k+1のときの①の右辺と一致する。
よって, ①はn=k+1のときも成り立つ。
(I), (I)より, ①はすべての自然数nについて成り立つ。
例題
129
バーの ()
数学的帰納法による不等式の証明
nが自然数のとき, 不等式3">n°+nを証明せよ。
考え方 2=kのときに不等式が成り立つと仮定して, n=k+1のときの不等式が
成り立つことを示す。
与えられた不等式を①とおく。
1=1のとき,
証明
1)
める。
(のの左辺)=3'=3,(①の右辺)=12+1-?

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みと

３行前に

【1＋2＋4＋･･････＋2^(k－1)＝2^(k)－1　･･･　②】があって

１行前に

【②を用いて…】と書いてあるので

①の左辺【1＋2＋4＋･･････＋2^(k－1)＋2^(k)】が

　　　●{1＋2＋4＋･･････＋2^(k－1)}＋2^(k)　である事に注目し

　　　一部【{}の部分】を②の右辺で置き換えると

　　　　{2^(k)－1}＋2^(k)　となります

あとは、そのまま・・・

くう

お礼が遅れてしまいすみません。とても分かりやすい回答ありがとうございます🙇‍♂️

Answer 2

ぷりん

見えにくかったらごめんなさい！

くう

お礼が遅れてしまいすみません。理解できました。ありがとうございます🙇‍♂️

ぷりん

良かったです〜☺️🤍