Question

しんころ

1枚目の「↓」（2枚目の「逆に」以前）の部分で質問があります。具体的な数学を代入して証明したら証明終了になるのはなぜですか？全てのnを調べていないのではないかと思ってしまいます。

(1) a, b は整数とする.
実アンを結pdp8 .d
どのような自然数nに対しても(ak+ bk+1) がつねにnで割り切れるとき,
a, bの満たす必要十分条件は
「a+bが偶数かつ aが3の倍数である」…(*)
ことを示せ。
(2) (1)の(*)を満たすa, bの組 (a, b) は
0<a<6mかつ 0<b<6m(ただし, m は自然数)
の範囲に全体で何組あるか. その個数を mで表せ。
さ断

(性)
Sne I lab?+んをり
ん
=1
a
そhchtり(chtり会んhtりtん をおく.
すベてのんで0Oでり切れるため-(は
(n=2) 0: 5at3んt2=22atんさり+ataが②でりれる
基数
かつ
(h=3) S-14at+ ht多=3そat2んtり +@a p@r割り切れみ
ことが必要。
にめちえをうがまいと来上
athp個かつap3の
2が取れる
"あろことが必要である。
年に(X) が成りつとき
修数kんを用いて
ath=2f, aン3ル
と表せる
(¥)→fベてのんで成りセつ
a=3ル1 M=2-36
であり、

Sn=fnlnt)(2ntり +
4-32n(ntl) th
2
2
t
=ん4 (ht)(2ntり+ (kー) (ht)
2
-ト修いてり他neリーまう+とklneり t11
2(hーリ
としnt) (a-リゃトCntりャう Smこんて(整察)
となり、Snはんで割740 1(x)→すべてのんで成りまつ」か示せた
57床せた

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

「すべてのnで成り立つ⇒(*)」の証明ですね。
次のような流れになっています。

すべてのnで成り立つ。
↓
n=2, 3, 4, 5, 6, …で成り立つ。
↓
(n=2で成り立つことから)a+bは偶数
(n=3で成り立つ、2と3が互いに素だから)aは3の倍数

ここで証明したいのは「すべてのnで成り立つとき、a+bが偶数、aが3の倍数である」ことです。
n=2のときに成り立つことは前提であって、証明したいことではありません。n=3のときに成り立つこともそうです。もちろんそれ以降のn=4のときについても同様です。すべてのnで成り立つ、といったとき、n=4以上でももちろん成り立つわけですが、今回はそれらは用いずにn=2,3で成り立つことから(*)がたまたま導けたというだけです。
そして(*)が導ければそれで十分です。n=4~で成り立つことから何かを言う必要はありません。調べたいのは、すべてのnで成り立つとき、「(*)が成り立つかどうか」であって、「すべてのnで成り立つかどうか」ではありません。

しんころ

回答して下さりありがとうございます。
「どのような自然数nに対してもΣがnで割り切れないといけないということは、Σは絶対に2でも3でも割り切れないといけなくて、Σが2でも3でも割り切れるということは、（※）という条件は絶対に必要。
もし仮にn＝10や15や100などを十分条件に代入したらまた新たな必要条件が出てくるかもしれないけど、そのうちの一つの必要条件が（※）である」という解釈で大丈夫ですか？
「どのような〇〇に対しても→ 」の証明は数値代入をすると思っておいて大丈夫ですか？

零

おそらくは大丈夫だと思います。

しんころ

いつもありがとうございます。分かりました！