Question

魚見さん

（４）について、
Sを面積で近似しているのはわかるのですが、
どうしたらこの発想が出るのかがわかりません。

(2) nが偶数のとき fn(x)<log(1+ x), n が奇数のとき fn(x)2log(1+x) であること
[発展問題]
関数 f(x)= xー.
2
22
23
(-1)-1 g
3
(ただし,x20, n=1, 2, …)について,
次の問いに答えよ。
d
(1)導関数 n(x) を求めよ。
が偶数のときfn (x)Slog(1+x), n が奇数のとき f(x)2log(1+x)であること
を示せ。
o)(2)を利用して logの値を,小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ。
6
1
1
1
1
の値を,小数第3位を四捨五入して小数第2位まで
300
250
251
299
求めよ。
(10 名古屋市大·医)

発展問題
(3)もちろん,(2)を利用します。(4)8月号
13.と同様に面積を利用して評価し、しかも log6/5 が
現れるようにしますが,log6/5 の評価を(3)と同じに
したのではうまくいきません。
また, Sは,右図の網目の
長方形の面積の和に等しく,
太線で囲まれた図形の面積よ
り大きいから,③も用いると,
11
S>
300
ーda
250 251 252 299 300 301
=1-z+z?-…+(1)n-!gn-1
=1/300+1og(6/5)
いま,(2)の不等式で, n=4, z=1/5として,
「1-(-ェ)
(: ェ20)
log
1+ェ
(2) 9,(z)=f,(#)-log(1+z) とおくと、(1)の結
=0.18+1/375-1/2500
果より、
となるから,
1
1
9(z)=
1
-+0.18+
300
1
(-1)"ェ"
1+ェ
S>
2500
1+ェ
(i) nが偶数のとき
375
1+エ
3
=0.18+
500
1
-=0.1856
2500
ェ20において、9(x)=-
1+x
-S0であるから,
O, 6より,求める値は, 0.19 である。
9,(z)は減少する。
よって,g,(0)=0 とあわせて,z20において,
05(エ)"6
: f(z)<log(1+x)
(i)nが奇数のとき
ェ20において,g"(x)=-
-20であるから,
1+z
9(z)は増加する。
よって,g(0)=0 とあわせて,z20において,
0マ()"6
:(z)2log(1+z)
(3)(2)の不等式で,n=2, #=1/5 として、
log-
=ー=0.18 …の
また,(2)の不等式で, n=3, z=1/5 として,
6
=0.18+1/375=0.1826…
の, のより,求める値は, 0.18 である。
1
(4) S=+点
299' 300
とおく。
250
Sは,右図の網目の長方形
の面積の和に等しく, 太線で
囲まれた図形の面積より小さ
いから,
300
s<
250
J250 エ
249 250 251 252 … 298 299 300
ここで、
1300
300
6
=log
-da=| 10ogz
-250
250
250
801=
であるから,のも用いると,
S<1/250+log(6/5)
S0.004+0.1826…=0.1866…

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

peekAboo

発想のもとは区分求積法だと思います。

関数が単調減少あるいは単調増加する場合は、
今回の問題のように上限、下限の見積もりができます。

哲治

高校生にはわからないけれど、ちなみにfn(×)がlog(1+×)のマクローリン展開の第n項までになってるですよね。
そこらも知ってるとぶっちゃけ見え見えなんですよね。