Question

こん

(2)の部分について
何故割っているのでしょうか？？
教えていただきたいです。
よろしくお願いします！

P(x) を(x-1)(x+1)? で割ったときの商を Q(x) とおくと
P(x) = (x-1)(x+1)?Q(x)+cx°+dx+e
のより,P(1) = -11 であるから
c+d+e=-11
また、cx*+dx+eを (x+1)? で割ると, 次のようになる。
C
(x+1)?=x°+2x+1
*+2x+1)cx°+ dx+e
cx? +2cx+c
(d-2c)x+e-c
よって
cx*+dx+e=c(x+1)?+ (d-2c)x+e-c
であるから,のより
P(x) = (x-1)(x+1)° Q«(x) +c(x+1) + (d-2c)x+e-c
= (x+1){(x-1)Qo(x) +c}+ (d-2c)x+e-c
P(x)を(x+1)*で割ったときの余りは ーx+2であるから
(d-2c)x+e-c=ーx+2
(x-1)Q(x) +cは, P(x) を
(x+1)? で割ったときの商であるか
ら,(d-2c)x+e-cが余りとなる。
- 5ズ-6
B3| 整式 P(x) がある。 P(x) を (x-1)? で割ったときの商は Q(x)であり, 余りは -5x-
である。また, P(x) を (x+1)? で割ったときの余りは ーx+2 である。
(1) P(1) の値を求めよ。 また, P(x) を(xー1)(x+1) で割ったときの余りを ax+6 (a, bは
定数)とするとき, a, bの値を求めよ。
(2) P(x) を(x-1) (x+1)? で割ったときの余りを cx+dxte (c, d, eは定数)とするとき、,
C, d, eの値を求めよ。
(3) P(x) を(xー1)(x+1)? で割ったときの余りを求めよ。
(配点 20)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

写真のその式を(x+1)²で割ると、P(x)を(x+1)²で割っているので、余りは-x+2になりますね

(x+1)²(x-1)Q(x)のところは(x+1)²で割り切れるので、余りが出るとすればその部分ですね

こん

ありがとうございます！
質問なのですが、どうしてcx²+dx+eを(x+1)²で割るのでしょうか？
自分で解答を導き出す時にこの理由が分からないと出せないと思うので教えていただきたいです。
お願いします🙏

こん

上手く表現出来ず伝えられなくて申し訳ないのですが、私は解く過程でcx²+dx+eを(x+1)²で割ろうという発想が出て来ませんでした。cx²+dx+eを(x+1)²で割るのは何故なのか教えていただきたいです。

aporon

整数で考えると楽かと
例えば、37を5で割るとなると
37=5×7+2 なので、商7で余り2ですね

37=5×4+17とも見ることができますが、37を5で割った余りを17としてしまうのは違いますね
となると、5×4の部分は5で割り切れるので、17を5で割ると余りがでるはずですね

こん

ありがとうございます！
教えていただいた部分は分かりました！
しつこいんですが、cx²+dx+eを(x+1)²で割ろう、という考えに至るのはなぜなのかを教えていただきたいです。すみません💦

aporon

整数の場合と同じです
(x+1)²でP(x)を割ったとき、(x+1)²(x-1)Q(x)の部分は割り切れます。さっきの5×4の部分は5で割り切れる話と同じですね

となれば、(x+1)²でP(x)を割った余りはcx²+dx+eを(x+1)²で割った余りと等しいはずですね
これは、5で37を割った余りが17を5で割った余りと等しいのと同じですね

こん

ありがとうございます！

(x+1)²でP(x)を割った余りはcx²+dx+eを(x+1)²で割った余りと等しいはずだから、
cx²+dx+eを(x+1)²で割ろう、というように考えて
cx²+dx+e÷(x+1)²をするという解釈で合っていますか？

aporon

ですね！

こん

ありがとうございました！