例題 110
2直線の交点の軌跡(1)」
mが実数値をとって変化するとき, 2直線
y=mx+8 …·0,
の交点Pは,どのような図形を描くか.
のより,x=6-
x+my=6
したがって,①
Y=mX+8
x=0 のとき,
考え方 交点をP(X, Y) とすると, ①, ②より,
X+mY=6
xキ0 のとき,
この2式よりmを消去して,XとYの関係式を導けばよい。
6-8m
(別解1) 0, 2の交点 P(x, y) を求めると,x=
6m+8
1+m?
これを④に代。
となる。
二1+m
ここからmを消去して,x, yの関係式を導く。
,2, ソ=
計算がやや大変ではあるが, m(媒介変数)の消去の練習になる。
(6-8m)y=(
(別解2) ①の傾きは m, ②の傾きは -一
品で、 m (-点)-1
xキ0 のとき
より,①と2は垂直に交わる。
また,O, 2はそれぞれ定点 A(0, 8), B(6, 0) を通る
ことがわかるので, 求める交点Pの軌跡は, AB を直径
とする円周上にあると考えられる.
これを①に代
(6x+8」
(x-3)2
ここで,x=
よって,交。
中心(3
解答 交点の座標を P(X, Y) とする.
10
(i) Yキ0 のとき,②より,
6-X
2をmについて解
こうとすると, Yが
分母にくるので、
m=
Y
3をDに代入して, Y=-
6-X
…X+8 より,
(別解2)のより,
Y?=6X-X?+8Y
したがって,
ただし,Y=0 となる④上の点(0, 0), (6, 0) は除く。
(i) Y=0 のとき,②より, X+m·0=6
つまり,
つまり, m
また, ②よ
つまり,2
さらに,
Yキ0 と Y=0 で
M
w
(X-3)+(Y-4)=D25
場合分けをする。
のより,Y=0 のと
き,X=0, 6
X=6
において, ↑
より,①とC
以上より、
0, 2の交
を直径の両
あることが
ただし、
直線 y=0
点を除く。
のに代入して,0=m·6+8 より,
4
m=ー
3
4
したがって, m=
のとき,2直線の交点は
=-
4
を0, 2
m=ー
P(6, 0)となる。
よって,(i), (i)より, 交点Pの描く図形は,
中心 (3, 4), 半径5の円 ただし,原点を除く.p(i)より, (i)で除かれ
に代入して確かめて
みるとよい。
+た点(6, 0)が点Pの
描く図形に含まれる。
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Focus
線分 AI
2直線の交点の軌跡を求めるには、
「媒介変数の消去」か「図形の性質を調べる」
円の半
よって
J回
ご回答ありがとうございます🙏🙏
すみません。自分が思いついたのは別解1でした。
もしよろしければ別解1と解答にあるほうを比較して頂けると幸いです。申し訳ありません。