Question

Y

X=1を代入する理由はなんですか？

[20 明治大·農 改)
<a soo ha00
BAA )
35.〈二項展開式·多項展開式とその係数>
い。
5
(1) (2x--)を展開したとき, xの項の係数は7口
大
マある。
であり,すべての項の係数の和
は
[13 近畿大·理系)
(2)(1+x+xy+xy°)10 の展開式におけるxy!3 の項の係数を求めよ。 [17 新潟大)
さおケ楽
必解36.〈等式の証明)
n1ァ41
てr+?=+22=z+x? が成り立つとする。この

35 (二項展開式·多項展開式とその係数〉
指針
(1) 二項定理から, (2x--)の展開式の一般項は
x
すべての項の係数の和 → x=1 を代入したときの値
(2) 多項定理 から,(1+x+xy+xy°)10 の展開式の一般項は
10!
p!g!r!s!
1°.x°. (xy)". (xy°)* (カ+g+r+s=10, p>0, q20, r20, s20)
(1)(ア) 展開式の一般項は
50
=C,25-(-1)"x8-2r
=(-1)"x
5-2r=3 とすると
r=1
C」-2(-1)'=アー80
よって, x°の項の係数は
(イ) 展開式の一一般項に x=1を代入すると
5C,25-デ.(-1)”となり,これはx°-2r の項の係数である。
よって,求める和は, 与えられた式に x=1 を代入したときの値
ア)を利用する。
+ い)
D+
(21-)-1
上に
区と
5
に等しいから
(2)(1+x+xy+xy°)10 の展開式の一般項は
10!
10!
.1P.x°.(xy)".(xy?)* =
c9+r+sy*+2s
p!q!r!s!*
p!g!r!s!
カ+a+r+s= 10,か20, q20, r20, s0

Answer 1

peekAboo

多項式f(x)=sum_k=1^n a_k x^k
の係数の和Sは、
S=sum_k=1^n a_k
となります。

両者を比較すると
S=f(1)
となっていることが分かります。

なお、sumは∑の意です。

一般化した表式がよくわからなければ、
二次関数などを例として具体的に考えてみてください。