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等面四面体が直方体に埋め込み可能なことを用いて解くのが一番簡単かと思います。
問題の等面四面体が縦の長さ、横の長さ、高さがx,y,zと表される直方体に埋め込み可能だとすると
x ² + y ² = 4 ²
y ² + z ² = 3 ²
z ² + x ² = r ²
が成り立つ。これらより
x ² = (4 ² + r ² - 3 ²)/2
y ² = (4 ² + 3 ² - r ²)/2
z ² = (3 ² + r ² - 4 ²)/2
四面体が存在するのは x,y,zがすべて 0 より大きいときなので、上の3つは0より大きい。よって
4 ² + r ² - 3 ² >0
4 ² + 3 ² - r ² >0
3 ² + r ² - 4 ² >0
よって
r ² > -7
r ² <25
r ² > 7
これらより 7 < r ² <25 ⇔ √7 < r < 5
等面四面体の直方体への埋め込みについては以下のサイトも参照してみてください↓
等面四面体とその性質 | 高校数学の美しい物語
https://manabitimes.jp/math/675
Qanda でも質問してた人かな？同じような質問を見たような…
ご丁寧にありがとうございます😭