Question

波瑠

数3極限の問題です。(3)が解説を読んでもうまく理解できないので解説お願いします。(1)、(2)はなんとか理解出来ました...

基本 例題 40 無限等比級数の応用 (4)
図形関連 2
面積1の正三角形 A。から始めて、図のように図形 A1, A2,
を作る。ここ
で, An+1 は An の各辺の三等分点を頂点にもつ正三角形を An の外側に付け加
えてできる図形である。
(1) 図形 An の辺の数 α を求めよ。
(2) 図形 An の周の長さを1とするとき,
lim ln を求めよ。
(3) 図形 An の面積をSとするとき,
HimSn を求めよ。
A1
A2
Ao
[類 香川大〕
基本39
また
21
よ
718
指針基本例題 39 同様方針はn番目とn+1番目に注目して関係式を作るである。
(1) 図形 An+1 は,図形 A の辺の数がどれだけ増えたものかを考え, an+1 を an で表
す。
(2) 図形 Am の1辺の長さをbm とすると lab
(3)図形 A”の外側に付け加える正三角形の個数は,図形 An の辺の数 α に等しい。
付け加える正三角形1個あたりの面積を(面積比)=(相似比)を利用して求め
SS+1 についての関係式を作る。
S
(1) 図形 An のそれぞれの辺が4つの辺に分かれて図形図形A
An+1 ができるから an+1=4an (n≧0)
参考
図形A1
基本例
図形
の1辺
4 辺に増加
う。
いう。
解答
=3であるから an=3.4n
......
数
1
(2) 図形 A の1辺の長さをbn とすると彼はn+1= 3
-bn
よって bo-bo (1/2)(n20)
15cmの正①: α7 は,第0項α に
注意
の国の長さは
をn回掛けると得られ
ることから。
一般
[1]
ゆえに ln=anbn=36 (314) (n ≥0)
4\n
5×3:15
な
4\n
なお,第0項から始まる
数列の一般項について,
次ページの注意 参照。
[2]
-> 1,6>0であるから
limln=lim36
=8
n→∞
00+U
[3
(3)図形 An の外側に付け加える正三角形の1つをBと
し, Bnの面積をT とする。
A1
-Bo
図形 An+1 は図形 An に正三角形B" を an個付け加えて
できるから, 面積について
Sn+1=Sn+anTn ...... 2 P.
Ao
ここで,Bm+1の1辺の長さは Bm の1辺の長さの1/3に
等しい。
練
③ 4
S=So+ao.To
よって、面積比は In : Tn+1=1: (1/2)2
ゆえに
==
T41=123T.(n20)したとき、静止す
B+1
円
SPB
PE
●止するまでボールが上する
T.: T.-1: ()

3
また,To= =(1/2) S=1/13 であるから
公比ともに
9
cn=1/01(1/1)=(1/4) **1
n+1
③
② に ① ③ を代入して
Sn+₁ = Sn+3• 4"³· ( 1 ) ** 1 = S₂+
\n+1
9
1/4\n
39
よって, n≧1のとき
CHAI
n-1
n-
Sn+1-Sn=
3
1/18 (1)
なお
a
=1+1/
Sn = So+ (Sk+1- Sk)=1+1=3(4)
k=0
40
1- (11)
9
4k
39
A
Sn=So+(S-So)
+......+ (Sn-Sn-1)
3
1
CHART
9
1 9
=1+
=
35
83
5 5
4\n
++(4)
い
したがっ
したがって
無限等比limSn=lim
8
n→∞
n→∞
lim S.-lim{3-(4)-
8
=
このとき
lim
n
=0
5 9
5
n→∞
fala

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

(3)のどの辺りがご不明でしょうか？
②の立式、Bnの面積比などですか？
○○がどうなっているのか、何故そうなるのかなど、
仰っていただければ幸いですm(_ _)m

波瑠

説明不足ですみません。青で囲ったところも青線を引いたところです。おそらくｎが増えていくことで図形がどのように変わっていくのかがあまり掴めていないんだと思います…

フラッグ

問題文の図を少し大きく描いてみました。その上で、
S1やS2の求め方を書きました(図をよく見ながら読んでください)そこから一般化してAn+1の面積Sn+1の式を立てます。画像を見て、図形の変化を掴んでいただけるでしょうか？分からないことがあれば、躊躇なくお尋ね下さい。私もできる限りの工夫はします。

波瑠

ほんとにありがとうございます!!図わかりやすいです😭 参考にしながらもう1度(3)挑戦してみます。

フラッグ

何か分からないことがあったらいつでも相談してくださいね♪