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しんころさんの洞察の通り、g(t)の情報は図のどこにも反映されていません。反映されているのはx²+y²=2(x≧0,y≧0)とx+y=tだけです。
その理由について考えてみましょう。
3枚目からもわかるように、x³+y³=kとおいて、それをx²+y²=2の図に直接反映させるのは非常に難しいです。x³+y³=kを解くと、y=∛(k-x³)となりますが、グラフが複雑なので手書きで書いてkを動かすことはほぼ不可能です。では、できることは何でしょうか。x+y=tを図に書くことです。これは簡単にできます。そして、図からtの範囲を求めることができます。
だから、これをx³+y³を求めるのに利用します。x³+y³は対称式なので、x+yとxyを使って表すことができます。
また、x²+y²も対称式なので、x+yとxyを使って表すことができます。よって、x+y=tとおけば、x²+y²=2からxyを求めることができます。
したがって、x³+y³はx+y=tとx²+y²=2を用いれば、tの関数g(t)で表すことができます。
ここで重要なのは文字が減ってひとつになったことです。このように単純な関数に持ち込めば、tの範囲からg(t)の値域を求められます。
わかることをどう利用して、自分の知ってる形に落とし込むか。問題を解くうえでは重要な観点です。
[まとめ]
必要な知識
・対称式に関する知識
x²+y²やx³+y³などはx+y, xyを用いて表せる。
逆に、xyはx+yとx²+y²から求められる。
・領域における最大・最小(最適化問題)に関する知識
x²+y²=2など、x,yに関する条件を満たすx+yの最大・最小を求めることができる。つまり、特定の条件下において、x+y=tのとる範囲を求められる。
・3次関数の最大・最小
関数g(t)とtの範囲からg(t)の最大・最小が求められる。
拓さん
いつもありがとうございます。
対称式の時に「＝t」で置く理由が今まであまり分かっていなかったのですが、解決できました。
類題が出てきた時に方針が立つようによく復習します。