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例題 12
(a+b+c)”の展開2
宝庭二 **
(x?-3x+1)10を展開したとき,x° の係数を求めよ。
(東京工科大·改
LO S
考え方(a+b+c)" について, a, b, cが,それぞれひとつの文字xの式である。
n!
!g!r!b°c" のa'6°c"の部分のxの次数に注意する。
つまり,(x°ー3x+1)10 において,(x')°(-3x)°×1" がxになるような, p, q,
この場合,展開した項
合せを考えることになる。
p, q, rを0以上 10 以下の整数で,
p+q+r=10
解答
(3) TOT-T+100
O +0ic+"0S
とする。
(x-3x+1)10 の展開式で,(x°)*(-3x)?×1" の項は,
10!
p!g!r!(*)(-3x)?×1"=
となる。
これより,x* の項は,
2p+q=5
となるか,q, rの組合せを考えて求めればよい。
ここで,か, q, rは0以上10以下の整数なので, -
2p+q=5, p+q+r=10
を満たすものは,
p=0 のとき,
p=1 のとき,
カ=2 のとき, 9=1, r=7
の3つの場合である。
よって,求めるxの係数は,
10!
(-3)°rD+9
(x)=x?,
p!g!r!
(-3x)=(-3)9
1"=1 より,
C+C 0×18FX L
(x°)^(-3x)°×1
=(-3)°xD+9
x2p+9=x
より,2p+q=5
400 o
p20, q20, r=
に注意する。
q=5, r=5
ると
q=3, r=6
Co 0+ 0
Per )
p23 のとき,
2か+q=5 より
10!
10!
2!1!71×(-3)<0 となるから
0!=1
10!
0!5!5!
1!3!6!×(-3)3+
=-61236-22680-1080
=-84996
1s
X1000g
条件を満たす p, q, rのすべての組合せを考え ()
それぞれの係数の和を求める
TO0OL
