Question

もも

画像のようになる理由が分かりません。
教えてください🙇🏻‍♀️

分母の先頭のkが無ければ
1/(k+1) - 1/(k+2)　だと思うのですが(ここも間違えていたら教えてください)、kがあるので分かりません

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✨ ベストアンサー ✨

み

画像のように右辺を変形させていくとわかりやすいと思います。

ですが正直この変形を初見で思いつける人はなかなかいないと思います。

常識のある問題であれば、
1/(k+1) - 1/(k+2) か、1/k(k+1) - 1/(k+1)(k+2)
のどちらかに変形させる問題しかないので覚えるだけで大丈夫です。

Kがないパターンはそれで大丈夫です。

もも

1/{k(k+1)(k+2)}　=　1/{k(k+1)} - 1/{(k+1)(k+2)}
なんですか？

み

右辺の全体に1/2かければあってます。
画像の方では書いたのですが、文章の方に入れ忘れました。m(_ _)m

もも

左辺が先にわかっていて、右辺を求める問題なのですが、そのような場合はどのように解けばいいのでしょうか？
画像の解き方は 右辺が分かっている時の左辺の求め方かと思ったのですが…

み

この問題は数列の分野での問題でしょうか？

数列の和を求める時、このように連続した分数の差の形に変形(部分分数分解)すると、かなり都合が良くなります。

実際に今回の式にKに1,2,3…と代入していったのを足してみると、1/2以降はどんどん消去出来ます。

1/2 - 1/6 + 1/6 - 1/12 + 1/12 …

これを念頭に置いてこの式を変形させると答えは出ます。

しかし、相当頭が柔らかい人でないと初見でここまで見越して計算出来ません。超進学校の人でも厳しいと思います。
しかし嬉しいことに入試では
1/{k(k+1)(k+2)}　か 1/k(k+1) のパターンしか出ません。
2パターンだけですので、暗記した方が圧倒的に楽です。一応、部分分数分解ってのをしているということだけ抑えておいてください。

もも

数列の問題です、
1/2 と -1/(k+1)(k+2)　が余りませんか？
2パターンの意味、理解しました！

1/(k+a)(k+b)　=　1/(b-a) × (1/k+a - 1/k+b)
の式は問題集にあったので 暗記してたのですが、分母が3つかけてる方？も暗記しちゃっていいですかね

み

数列の問題か確証がなかったので、nまで代入する所は省略したから最後の項を書いてないだけで、それで合ってます。面倒くさくしてすみません。m(_ _)m

分母3つも意外と出てくるので暗記しちゃって大丈夫です。