例題 119
領域と最大·最小(1)
x, yが4つの不等式 x20, y0, 2x+y<6, x+2y<4 を満たすとき,
x+yのとる値の最大値,最小値を求めよ。
方まず,与えられた4つの不等式を満たす領域を求める。
次に,与えられた1次式を々とおく と
x+y=k より, ソ=ーx+k となり,これは傾き -1,
y切片kの直線を表す。
また,x, yは4つの不等式を同時に満たす値, つまり,
4つの不等式を満たす領域内の点(x, y) である。
領域と直線が共有点をもつときのkの値の最大値と最
小値を求めればよい、(次ページ参照)
x+y=k
82
3'3
2
0
34
与えられた条件を満たす領域Dは
境界線は,
x=0 (y軸),
ソ=0(x 軸),
2x+y=6,
Y4\2x+y=6
解答
右の図の斜線部分で,境界線を含む.
x+y=k とおくと,
x+2y=4
…0 より, 傾き
c)
ソ=ーx+k
-1, y切片kの直線である。
(x, y)は直線D上かつ領域Dの
内部の点より,この直線を領域D
と共有点をもつように動かすと右
x+2y=4
4
3
0
10
0 =す
無おに除
の図のように,点 C(S, ) 点Cの座標は、
「2x+y=6
を通るとき,y切片kは最大に
3'3
なる。
lx+2y=4
2
10 う 4=+
8
2
このとき,k=x+y=;+
8
より、C3
また,原点を通るとき,kは最小になる。
このとき,
k=0+0=0
8
x=
3
2
y
3
10
よって, x+y の最大値
3
最小値0(x=0, y=0)
Focus
(与えられた1次式)=Dk とおき,
この直線が領域内を通るときのkの範囲を求める
注》x-yのとる値の最大値, 最小値の場合は, x-y=k とおいたとき, y=x-k より,
切片が 一kになることに注意する. 傾きが1より, y切片の最大値は点 (0, 2) を通
とき? 量小値は(. 0)を通るとき -3 となるので, kの最大値は3(x=3, y=0),
なるほど、ありがとうございます！