Question

mop

【至急お願いします】
答案と私の回答はやり方が違うのですが、
私の回答は正解ですか？？

が成り立つ。
2> 3n+1
87
10.
とする。
[1] n=4 のとき
o
左辺 = 2* = 16
右辺 = 3·4+1= 13
10
ゆえに
左辺>右辺
よって,① はn=4 のとき成り立つ。
[2] k24 とし, ① がn=kのとき成
り立つ,すなわち
2 > 3k+1
2
と仮定する。
マ =k+1 のとき, ① の左辺を②を
)用いて変形すると
2*+1 =2·2* >2(3k+1)
十 次に, 2(3k+1)と 3(k+1)+1を比べ

ここで,k24 であるから
2(3k+1)-{3(k+1)+1}= 3kー2>0
すなわち
4
1
-3, ④より
となり,① はn=k+1 のときにも
成り立つ。
[1], [2] より, nが4以上の自然数のと
きのが成り立つ。
の S

87 01 124> 3nt1 "① n24
C17 n=4のヒき
石2= *= 16, 石2= 34+1 = (3
p]h=kのとき
2ピ>3に+1 m が成立すると仮定して n=kt1のヒマ
2*-Bk+)< 24_ (34t4)
4
2 201- (3k+4) = 2f1-3(E+す)り
g-3(K+豆)シ0 が成々立ッヤら
ニ
n-ktlのをきも①rに成立する.
1コ2コ はり カ24の自然納につじて①は成立つ。

数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

n=kのとき、の次の行の不等式(n=k+1のとき、に続く式)はどのようにして導きましたか？

mop

kを代入した式よりk+1を代入した式の方が大きくなることを示したあとで、②の式が成り立つのを証明するために左辺-右辺をしました。

ブドウくん

結論から言えば、×だと思います。ちょっときつい言い方かもしれませんが、数学的帰納法の一番大事なところが分かっていないように思います。数学的帰納法を復習すると、まずn=1で成立することを言い、n=kの時に成り立つと仮定しますよね。そのあと、n=k+1でも成立することを【n=kの仮定を用いて】示すのが数学的帰納法です。数学的帰納法の証明に関する質問に何回か答えていますが、この【仮定を用いて示す】ができていない答案は多いです。模範解答では、きちんと「②(仮定)を用いて変形すると」とありますよね。
mopさんの答案では、仮定を用いていないように思うのです。
もし、「いやちゃんと仮定を使って示してるよ」と思うのであればコメントして頂きたいです。
それから、mopさんの解き方を理解しようとはしているんですが、僕にはなぜ「kを代入した式よりk+1を代入した式の方が大きくなることを示す」必要があるのか理解できないです...。示すのは②がn=k+1でも成り立つことなのに、n=kとn=k+1で比較する必要はないかなと思います。僕の理解とmopさんの考えがずれていたらすみません。

ブドウくん

何度も重ねて質問して申し訳ないです。僕の目の前にいたら、「ここってどうやって考えたの？」って聴けるし、間違えて理解しているところも把握しやすいのですが、そういうわけにもいかないので、一つ一つ聴くしかないんです...

mop

確かに仮定を用いて示せていませんでした😰
とりあえず今ブドウくんさんの回答を読ませていただいて自分の回答の足りないところがわかった気がするので
明日もう一度自分の中で消化して、考え直してコメントさせてもらいます🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

mop

この［2］の回答ならどうでしょうか、？
何度もすみません

ブドウくん

遅くなりました、すみません。
結局模範解答と同じ解答なので、もちろん正解です。(最後に、「したがって数学的帰納法により①が4以上の全ての自然数nについて成り立つことが示された」的なことは書くべき)

mop

沢山ありがとうございました😭