Question

みー

オレンジでマークしてあるところの意味がわかりません。
なぜこのような条件になるのか教えて欲しいです。

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重要 例題210 4次関数が極大値をもたない条件
は3次方程式で,少なくとも1つの 実数解 をもつ。 その実数解を αとし, 他の2つ
数であればB,y とする。この解は次の4つの場合がある(4次の係数が負のときは,困の
関数f(x)=x*-8x°+18kx° が極大値をもたないとき, 定数kの値の
I
よ。
指針>4次関数f(x) がx=p で極大値をもつ
→ェ=pの前後で3次関数f(x)の符号が正から負に変わる
であるから,f(x)の符号が「正から負に変わらない」条件を考
える。3次関数f(x) のグラフとx軸の上下関係をイメージす
132
x
fla +
flx)
m
e133
解答
f(x)=4x°-24x?+36kx=4x(x°-6x+9k)
f(x) が極大値をもたないための条件は, f(x)=0 の実数解の
前後でf(x)の符号が正から負に変わらないことである。
このことは,f(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式
f(x)=0が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。
f(x)=0 とすると x30 または x°-6x+9k=0
よって,求める条件は,x°-6x+9k=0 が
[1] 重解または虚数解をもつ
[1] x-6x+9k=0 の判別式を Dとすると
k21
YA
134
CH
0
3
0)
13
k=0
[2] x=0 を解にもつ
D<0 -(
-=(-3)*-9k=9(1-k) であるから
1-kS0
0
4
よって
k21
[2] x-6x+9k=0にx=0を代入すると
k=0
したがって
k=0, k21
参考 [4次関数の極値とグラフ]
一般に,4次関数f(x) [4次の係数は正]に対し、
逆になり,極大と極小が入れ替わる)。
0 異なる3実数解 ② 重解ともう1つの実数解
3 1つの実数解と
異なる2つの虚数解
(α<B<yとする)
Q=B<y, α<B==x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まさまさ

正から負に変わらないということは必ず上がり続けるということなので、yが1回正になったらもう負になれないため、このなる3つの実数解をもたないということです。

みー

ありがとうございます