Question

なないろ

なんでa+bとabの公約数となる数が素数なんですか？
他の似た問題みたいに「1より大きい公約数をもつ」でもいいような気がするのですが、ここで素数でないといけない理由を知りたいです🙇‍♂️

30 (1) 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a+bと abは
互いに素であることを証明せよ。
3

430 指針(1) 背理法を用いる。
a+bと ab が互いに素でないと仮定すると,
a+bと ab は1より大きい公約数をもつ。
a+bと ab の公約数となる素数かが存在
する。
このとき,aとbが素数pを公約数にもち, aと
bが互いに素であることに矛盾することを示す。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

kon

素数でないといけないと言うより、わざわざ合成数で考える必要がないからです！

たとえば、a＋bとabが合成数である12を公約数にもつとすると、必ず素数の公約数ももちますよね。（この場合は2と3）

つまり、素数の公約数を持った時点で互いに素ではなくなります。

なないろ

なるほど！わからなくてモヤモヤしていたのがスッキリしました！ありがとうございました！