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対角線の交わるところ……とは一瞬思いましたが、重なってない部分の三角形の大きさが均一ではないので、ぴったり真ん中が回転の中心って訳じゃなさそうですね。
今回は、回転の中心から他の点の距離に注目しましょう。
Aが、Oを中心に回転したらA'に移った……ということは、AOの長さとA'Oの長さが同じである、つまり三角形OAA'はAO=A'Oの二等辺三角形であることが分かります。また、A以外の点についても同様です。
じゃあどう作図するかですが、△OAA'が二等辺三角形ということは、点Oから線分AA'に垂線を下ろした時、それは線分AA'の垂直二等分線になります。
ということで、まずは線分AA'の垂直二等分線を作図します。
ただこれでは1点に決まりません。じゃあどうするかというと、ほかの点でも同じ動作をします。きっと1点に交わるはずです。
って感じで、点Oが作図できます。
長くなりましたが、結果に至るまでの考え方も伝わってくれれば幸いです。
ありがとうございます！
図にするとこんな感じです