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互いに素な3数をs,t,uとする。
stuの最小公倍数は、s,t,uが互いに素な為、stuである。
今、a＝gs、b＝gt、c＝guとなる3数を考える。
abc＝g×g×(gstu)
s,t,uは互いに素であるので、abcの最小公倍数には必ずstuが必要である。ここで、abcの最小公倍数はstuまたはgstuとなる。
gとstuが互いに素のとき、abcの最小公倍数はgstuとなるので題意を満たす。
よって、gがa'、b'、c'と素にならないときは成り立ちませんね。
反例:a＝30×2、b＝30×3、c＝30×5
このとき、g＝30、l＝30、l/g＝1となり不適。
少し考えたんですが最後の
a=60 b=90 c=150のときって
g＝30 l＝900で l/g＝30となり2,3,5の最小公倍数に一致しますよね……？
だからgとa',b',c'との最大公約数が1以上のときも成り立つのでは……と思ったのですが……
a,b,cの最小公倍数はgstuになる気がします(うまく説明出来ないですが、いつもはそれぞれの素因数から次数の大きいものを集めてくるという方法で3つの数の最小公倍数を求めるのでその感覚からそんな気がします。)だからgstu/g＝stuとはなりませんか……？
なるほど。もう１つの条件、
最小公倍数はa、b、cのどれよりも大きくないといけないという条件を満たせていなかったんですね。
結論的にはABC＝g×g×g×abcとなったとき、最小公倍数がabc＝lとなることは無い気がしますね。
最小公倍数がlとなるためにはl＞Cが必要であり、C＝g×c、しかもgがlを含まないといけないので、g＝klと置ける。
このとき、C＝g×kl ＞lとなってしまうので、lが最小公倍数になることは無いんですね。
そうなると、ABCの最小公倍数はやはりgabcになるので、はっしーさんの式は成立しそうですね。
間違ってばかりですみません。
C=g×kl>lというのはC=c×kl>lのことですかね
わたしの些細な疑問に真剣に向き合ってくれて本当にありがとうございます。背理法的な証明のようで、
大変参考になりました。貴重なお時間をありがとうございました。
ありがとうございます！スッキリしました！
かなり考えて証明が思いつかなかったので本当に助かりました(><)