✨ ベストアンサー ✨
係数が整数の場合しか成り立たない定理だからです。
係数が全て有理数の場合は分母を払って、係数を全て整数にしてこの定理を適用することもあります。
係数が無理数だったり、虚数のときなどは当然成り立ちません。
P(x)=0の解を求めるのが目的だったら、すべて係数にしたものQ(x)=0にこの定理を適用して解α1,α2,...を求めて終わり。
P(x)を因数分解をすることが目的だったら、P(x)=a(x-α1)(x-α2),..とすればOK.(aは最高次の係数)
Q(x)の因数分解を経由する必要はないけど、Q(x)を因数分解してからnで割っても間違いではないです。
なるほど！疑問解決しました。
ご丁寧に、ありがとうございました🙇♀️
またまた質問すみません。
①xの最高次の係数と定数項以外の係数が整数である必要はありますか？
②P(x)が、因数(x-(q/p))をもつとき、
P(x)=ax^n+bx^n-1+…+z=(px-q)(αx^n-1+βx^n-1+…+ω)のところで、
((x-(q/p))を、1/p(px-q)にしたので、商の(αx^n-1+βx^n-1+…+ω)は1/p倍されていると思うのですが、α、β、…、ωは整数になるのですか？
確かにこれは自明ではありませんね。
もとの画像の証明でl,m,nが有理数であることはわかるけど、整数になるかということだと思います。
もっと一般的に、整数係数の多項式が有理数係数の範囲で因数分解できるとき、整数係数の範囲で因数分解できる(ガウスの補題)ということだと思います。
以下のURLに証明が載っています。少し読むのが大変だと思いますが。
http://www.virtual-hs.com/math/sushiki010.html
有理根定理には初等的な証明があって、そちらの方が有名だと思います。(以下のURLの直接的な証明)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
①は全ての係数が整数である必要があります。
これによって因数分解したあとの係数が全て有理数になることが保証されます。
有理根定理の初等的な証明ではすべての係数が整数であることが効いているのが明白だと思います。
URL載せていただきありがとうございます
頑張って読みます💪
回答ありがとうございます！
分母を払うとは、P(x)をP(x)=0として、1度分母を払うためにn倍して係数を全て整数にして、
最終的に因数分解の形にするときは1/n倍するという認識で合ってますか？