Question

いぬいぬ

3k＋1と3k＋2がこの問題の中ではどういうものなのか分かりません。解説お願いします❕

2
重要例題
nを自然数とする
だけであることを示せ。
117 3つの数がすべて素数となる条件
OOOO0
。n, n+2, n+4がすべて素数となるのは n=3 の場台
【早稲田大)
基本113

nが素数である場合について考えればよい。
解答
が素数である場合について考えればよい。
n=2 のとき
n=3 のとき
nが5以上の素数であるとき, nは自然数々を用いて
n+2=4, n+4=6 は素数ではない。
n+2=5, n+4=7 も素数である。
3k+1 または 3k+2
った余りは0
と表される。
[] n=3k+1 のとき
k+1は2以上の自然数であるから, n+2は素数ではない。
[2] n=3k+2 のとき n+4=(3k+2)+4=3(k+2)
k+2 は3以上の自然数であるから, n+4は素数ではない。
よって, nが5以上の素数であるとき, n+2またはn+4は素
数ではない。
以上から, n, n+2, n+4がすべて素数となるのは n=3 の場
合だけである。数の問題を無
n+2=(3k+1)+2=3(k+1)
が3の倍数であるから,これを含と
J

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

解答ではいちいち書いていませんが、実際にこの問題を解くときにはまず実験することになると思います。整数だけではなくて、とりあえず手を動かして実験してみるのは数学の問題を解く上では大事なことだと思います。
(実験) 素数でない数字は[ ]で囲っています。
n n+2,n+4,n+6
_________________
n=2 [2],[4],[6] →素数唯一の偶数なので例外
n=3 3,5,7→全部素数なのはこれだけのはず
n=2は例外でn=3は問題文で教えてくれているので、考えないといけないのは5以降

n=5 5,7,[9]
n=7 7,[9],11
n=11 11,13,[15]
n=13 13,[15],17
n=17 17,19,[21]
n=19 19,[21],23
n=23 23,[25],[27] →25は5の倍数
n=29 29,31,[33]
このくらい書き出すと、素数でないものは3の倍数ばかり(23のようにほかのもの(25)を含んでいたとしても3の倍数(27)はある)と分かるので、3で剰余分類しようとは思えると思います。
n+2が3の倍数ではないもの...7,13,19
n+4が素数ではないもの...5,11,17,23,29
となるので、3で割った余りが1のものと2のものだと分かりますね。

写真に類題を載せましたが、似たような問題をやっていたら手が動くと思います。