Question

あぼかど

数1の三角比の問題です。(2)の問題の3分のr がどういうことか分かりません。教えて頂きたいです。
()の中でくくられているのは正四面体の表面積です。

A
1辺の長さが aの正四面体 ABCD の体積を
V, 表面積をSとする。
a
(1) 体積Vを求めよ。
(2) この四面体に内接する球の半径をrとす
D
B
1
ると,V=→rS が成り立つことを示せ。
3
C
(3) 内接する球の半径rと体積V' を求めよ。

V2
a3
12
V6
(3) r=
V6
-πa°
12
a, V'=-
216T03
|(1) 頂点Aから △BCD に垂線 AH を下ろすと BH=
2
よって AH=
a
73
)
(2) V=;
(△ABC+△ACD+△ABD+△BCD)

三角比

Answer 1

さい先生

内接している球の中心をOとすると、
四面体は、4つの三角錐に分解することができます。
三角錐OABC,OACD,OADB,OBCDの4つ。
これらはいずれも高さは球の半径rになります。
したがって、分解した4つの体積はそれぞれ、1/3×底面積×rとなるので、合わせれば、四面体ABCDの体積が得られます。

あぼかど

なぜ高さは半径rになるのでしょうか。

さい先生

球は四面体ABCDに「内接」すると書いてあります。
これは、四面体の各面がそれぞれ１点で球と接していることを表します。
接点と球の中心を結ぶ線分は、球の中心から最短の長さになります。すなわち、面に対して垂直になるわけです。
この線分が半径rであり、三角錐の高さになります。