Question

わっか

次の曲線の凹凸を調べよ。また、変曲点があればその点の座標を求めよ。という問題です。グラフの凹凸の求め方を教えてください(´；ω；｀)よろしくお願いします💦

2:09 3月22日(火)
l全 21% 0
く数I
(5) y= (x^~1)e-x
- -(x*-)e** 2ze^*
22)e
ニ
ー文
(-2x +2 )e
ー次
e^(x^ - -22 -2xf2
:e* ( x^ -チx tl )
y'=oとtると
{/2
x*-fスtl =0
6
4女(6 -f ~I
X:
2
4+23
ニ
2土3
2
2-3
243
しG
[m

2:09 3月22日(火)
l全 21% 0
く数I
2-3
243
0
0
t
FにA交曲品上に変曲点下に
Za 2-3nとき:(6-415)eatf 5
-2-3
ズ= 2+ 5 aとき y= (6+4/3)e"
とって
2<2-5,
2-3<ス<2f房で上にA
夜曲点、の座標(は
(2-5, (6-45 )e
(2+15, (6t 415)e
2t3 <x てい下に出
s )
ー2f3

数ⅲ 微分法の応用

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

から

グラフ[y=f(x)]の凹凸は、2回微分したもの[f''(x)]から判断することになります。

この内容の前に増減表を書いて3次関数のグラフをかくということをしていると思うのですが、大丈夫でしょうか？(分からなさそうであれば調べるor聞いてください)

f(x)の増減を調べる時は1回微分したものf'(x)の符号に注目して、負なら減少、正なら増加としたと思います。
凹凸を調べる時も同じような感じで、今度は2回微分したものf''(x)の符号に注目して、負なら上に凸、正なら下に凸とします。負の時は上、正の時は下と、イメージと逆の組み合わせだと思うので注意しましょう。

変曲点は1回微分したものの極値みたいなもので、2回微分したものf"(x)=0の時のxの場所なのですが、変曲点は座標(x,y)であるというのが、極値(yの値)とは異なる点です。

凹凸を調べよという問題の解き方としては質問の時にあげてもらった画像の通りで
・2回微分する
→(2回微分したもの)=0のときのxを出す
→増減表(x,f"(x),f(x))を書く
→増減表より求められている情報を解答として書く
といった流れになります。

長文になってしまいましたが分かったでしょうか？
分からなかった、もしくはもう少しつっこんでききたいなどあれば言ってください。

わっか

解説ありがとうございます!!
流れは理解したのですが、3次関数のグラフの書き方がわかりません...お時間があれば教えて下さると助かります💦

から

画像の1枚目はグラフの書き方2パターンです。

3次関数に関わらずどんな関数でもこの解き方でできます。例は今回の問題を使わせてもらいました。
2パターン目はうねうねした矢印が出てくるのですが、1回微分したものと2回微分したものの正負の組み合わせで矢印の種類が変わってきます。これは覚えましょう。

ネットで調べられるならば
https://integraldx.info/inflection-point-1047
このサイトなどいいと思います。

2枚目は3次関数のグラフについてちょっと書いているのですが大体の形を描きたい時やちょっとグラフ欲しいなて時に役に立つので余裕があれば覚えておいて損は無いと思います。
増減表を書いてグラフを描いてみたけどこのグラフと合わないなあ→増減表が間違っている？などの検算の感じでも使えたりします。

また分からないことききたいことなどあれば言ってください

わっか

わかりやすくありがとうございます!!泣
変曲点がある場合、3次関数になるということでしょうか?

から

2回微分した関数の符号が変化するものはすべて変曲点があります。

変曲点がある→3次関数
というわけではありません。他の関数の可能性もあります。
3次関数→変曲点がある
というのは成り立ちます。3次関数には変曲点がひとつあります(3次関数を2回微分した関数は1次関数であり1次関数は符号の変化が1回あるため)。

変曲点については
https://rikeilabo.com/inflection-point
このサイトなどよいと思います。

分からなかったらまた引き続き聞いてください〜

わっか

承知しました！！
沢山の質問に答えて下さりありがとうございました！本当に助かりました((｡´･ω･)｡´_ _))

Answer 2

嗚呼

2回微分したものが、y''=0となるかつその点でy''の符号が入れ替わるところが変曲点です

わっか

簡潔で分かりやすいです!!(´；ω；｀)
ありがとうございます😭